pelo método de separação de variáveis, ou seja, usando o resultado do item a), determine funções
satisfazendo a EDP e a condição de contorno
tal que
seja solução, com os coeficientes dados em termos da função .
Calcule a série de Fourier em senos no intervalo da função , ou seja, calcule tal que
Para . Justifique porque esta igualdade vale para todo .
Dado: .
Passo 1
Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever
Note que não se trata de uma equação de calor, mas o método ainda vale.
Com a separação, teremos:
Portanto, nossa equação se torna
E isso origina duas equações (uma em e outra em ):
Passo 2
Tomando , vamos resolver a EDO
A sua equação característica é dada por
Portanto, sua solução é da forma
Passo 3
Aplicando as condições de contorno:
Como , temos que
Assim:
E, desta forma, temos que
Portanto:
Passo 4
Agora que já temos os autovalores , encontramos as autofunções :
E, assim, para a EDO em :
Passo 5
Perfeito, e agora? Agora combinamos os resultados:
E, se uma dessas é solução, a combinação linear delas também é:
Passo 6
Com a condição inicial em :
Se escrevermos agora
observamos que são os coeficientes da Série de Fourier em senos da função , isto é:
ou
Passo 7
Queremos a Série de Fourier em senos no intervalo , então:
com . Logo,
Assim, os coeficientes são dados por
Passo 8
Usando o dado da questão:
Com e :
Mas como , vem:
A série converge para a função no intervalo desejado, garantido pelo Teorema de Fourier, já que a função é contínua e tem derivada seccionalmente contínua (na verdade, contínua) em todo o intervalo.
