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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Séries de potências

Calcule a série de Maclaurin da função

f x = 1 1 + 2 x 3

Ou seja, escreva f ( x ) como uma série de potências

∑ n = 0 ∞ a n x n

e, usando o Teste da Razão, determine o raio de convergência desta série. Determine também o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Primeiro, vamos olhar de novo para a função:

f x = 1   1 + 2 x 3

Daí, a gente se lembra da série geométrica, olha que legal:

∑ n = 0 ∞ w n = 1 1 - w ,     w < 1

E substituímos w = - 2 x 3 :

∑ n = 0 ∞ - 2 x 3 n = 1 1 + 2 x 3

com - 2 x 3 < 1 → x < 1 2 3 .

Passo 2

Portanto:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 2 x 3 n

Ou, podemos reescrever:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 2 n x 3 n

para x < 1 2 3 .

Passo 3

Vamos usar o Teste da Razão para determinar o raio de convergência da série. Assim, sendo

a n = - 2 n x 3 n

temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = l i m n → ∞ - 2 n + 1 x 3 n + 3 - 2 n x 3 n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 2 x 3

Assim, a série converge se 2 x 3 < 1 , isto é, x < 1 2 3 . Portanto, o raio de convergência é

R = 1 2 3

Passo 4

Para calcular o intervalo de convergência devemos analisar os dois extremos do intervalo.

Primeiro, se x = - 1 2 3 :

f - 1 2 3 = ∑ n = 0 ∞ - 2 n - 1 2 3 3 n

f - 1 2 3 = ∑ n = 0 ∞ - 2 n - 1 2 n

f - 1 2 3 = ∑ n = 0 ∞ 1

Esta é claramente uma série divergente, então x = - 1 2 3 não pertence ao intervalo de convergência.

Passo 5

Para o outro extremo, x = 1 2 3 :

f 1 2 3 = ∑ n = 0 ∞ - 2 n 1 2 3 3 n

f 1 2 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n 1 2 n

f 1 2 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n

Esta também é uma série divergente, então x = 1 2 3 não pertence ao intervalo de convergência.

Portanto, o intervalo de convergência é

I C = - 1 2 3 , 1 2 3

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 2 n x 3 n ; R = 1 2 3 ; I C = - 1 2 3 , 1 2 3 .

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