Listas GMA de Cálculo IIB da UFF - Lista 4

Uma função

É harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace

Mostre que a função

É harmônica.

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

Verifique que

Satisfaz a equação da onda

O objetivo deste exercício é examinar uma função de classe para a qual a tese do teorema de Schwarz falha: as derivadas parciais mistas não são iguais. Seja

1. Prove que se anula sobre os eixos e . Conclua então que e são iguais a zero.
2. Calcule e para pontos e conclua que e
3. Mostre que
4. Mostre que e conclua que as derivadas parciais mistas de não são igual em
5. Calcule para .
6. Use o item anterior para mostrar que para .
7. Conclua que é descontínua na origem e assim não é uma função de classe . Logo, a hipótese do teorema de Schwarz (a saber, é uma função de classe ) não se verifica.