UFF, Calculo IIB, Listas GMA, Lista 4, exercício 11
O objetivo deste exercício é examinar uma função de classe para a qual a tese do teorema de Schwarz falha: as derivadas parciais mistas não são iguais. Seja
- Prove que se anula sobre os eixos e . Conclua então que e são iguais a zero.
- Calcule e para pontos e conclua que e
- Mostre que
- Mostre que e conclua que as derivadas parciais mistas de não são igual em
- Calcule para .
- Use o item anterior para mostrar que para .
- Conclua que é descontínua na origem e assim não é uma função de classe . Logo, a hipótese do teorema de Schwarz (a saber, é uma função de classe ) não se verifica.
Passo 1
Sobre o eixo , temos que . Quando isso acontece, temos, segundo a definição da função
Que .
O mesmo ocorre sobre o eixo , quando .
Já no ponto , como essa função é definida por intervalos, temos que usar a definição para calcular as derivadas parciais.
Começando pela derivada parcial em relação a .
E para a derivada parcial em relação a , também usando a definição, temos
Passo 2
Já para os pontos diferentes de , a função é definida por
E não precisamos nos preocupar com a definição. Apenas calculamos as derivadas parciais normalmente.
Como sempre, vamos começar pela derivada parcial em relação a .
No ponto , temos
Agora vamos para a derivada parcial em relação a .
No ponto , temos
Passo 3
Aqui, teremos de novo que usar a definição de derivada parcial para calcular a derivada parcial de ordem superior, uma vez que a função tem duas definições dependendo se ) é igual ou diferente de zero. Ou seja, é um ponto meio problemático. Vamos lá então.
Usando a definição de derivada parcial mista e os resultados que obtivemos em letras anteriores:
Passo 4
Para a derivada parcial em relação a da derivada parcial em relação a , vale o mesmo raciocínio do item anterior.
Assim, usando a definição de derivada parcial mista e os resultados que obtivemos em letras anteriores:
Logo, as derivadas parciais mistas são diferentes.
Passo 5
Para pontos diferentes de , não temos problemas, podemos calcular as derivadas parciais mistas normalmente.
Só para não precisarmos ficar subindo o página, vou colocar aqui a derivada parcial em relação a que a gente já calculou.
Agora derivando isso em relação a , temos
Ufa!
Passo 6
Passo 7
Para verificar a continuidade da derivada parcial mista , fazemos a mesma coisa que fazemos para uma função .
Assim, vamos calcular o limite de e vê se ele é igual ou não a .
Vamos tentar calcular isso pelo caminho e vê no que vai dar.
Usando a regra de L’Hospital, o limite fica
Que depende do caminho, logo, esse limite não existe!
Se o limite não existe, não é contínua na origem. Assim, não é de classe e, por isso, suas derivadas parciais mistas são diferentes.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)