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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

z = f x , y =   ln ⁡ x 2 + y ²

Passo 1

Uma função

z = f x 1 , … . , x n

Satisfaz a equação de Laplace se

∂ ² z ∂ x 1 2 + ∂ ² z ∂ x 2 2 + … +   ∂ ² z ∂ x n 2 = 0

Assim, o que temos que fazer é calcular as derivadas parciais de segunda ordem dessa função e ver se somando tudo, dá zero. Bora lá então.

Passo 2

Começando pela derivada parcial em relação a x .

Pela regra da cadeia, temos que a derivada primeira é

∂ z ∂ x =   1 x 2 + y ² . 1 2 1 x 2 + y ² 2 x =   x x 2 + y ²

E a derivada segunda é

∂ ² z ∂ x ² =   x ' x 2 + y 2 - ( x ) ( x 2 + y 2 ) ' ( x 2 + y ² ) ²

∂ ² z ∂ x ² =   x 2 + y 2 - ( x ) ( 2 x ) ( x 2 + y ² ) ² =   y 2 - x ² ( x 2 + y 2 ) ²

Passo 3

Agora vamos para derivada parcial em relação a y .

Pela regra da cadeia, temos que a derivada primeira é

∂ z ∂ y =   1 x 2 + y ² . 1 2 1 x 2 + y ² 2 y =   y x 2 + y ²

E a derivada segunda é

∂ ² z ∂ y ² =   y ' x 2 + y 2 - ( y ) ( x 2 + y 2 ) ' ( x 2 + y ² ) ²

∂ ² z ∂ y ² =   x 2 + y 2 - ( y ) ( 2 y ) ( x 2 + y ² ) ² =   x 2 - y ² ( x 2 + y 2 ) ²

Passo 4

Somando as derivadas segundas

∂ ² z ∂ x ² + ∂ ² z ∂ y ² = y 2 - x ² ( x 2 + y 2 ) ² + x 2 - y ² ( x 2 + y 2 ) ² = y 2 - x 2 + x ² - y ² ( x 2 + y 2 ) ² =   0  

Ou seja, a função satisfaz a equação de Laplace, pois a soma de suas derivadas parciais de segunda ordem é igual a zero.

Resposta

f x , y   s a t i s f a z   a   e q u a ç ã o   d e   L a p l a c e

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