Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Mostre que este sistema não satisfaz o critério de linhas;
Mostre que esse sistema não satisfaz o critério de Sassenfeld;
O que se pode afirmar sobre a convergência dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, quando aplicados a este sistema?
Mostre que o sistema obtido permutando-se as duas primeiras equações satisfaz o critério de Sassenfeld;
Usando o método de Gauss-Seidel, determine a solução aproximada do sistema, com a permutação sugerida no item anterior e erro .
Passo 1
Verificando o critério das linhas:
Só pelo já podemos ver que ele não satisfaz o critério.
Passo 2
Verificando o critério de Sassenfeld:
Novamente, apenas pelo valor de já sabemos que o critério não é satisfeito.
Passo 3
Nesse caso não podemos afirmar nada a respeito da convergência dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel quando aplicados a esse sistema. Eles podem convergir ou divergir.
Passo 4
Permutando-se as duas primeiras linhas obtemos:
Verificando o critério de Sassenfeld:
Logo, . Então, o sistema satisfaz o critério de Sassenfeld.
Passo 5
As funções de iteração são:
Agora precisamos de um chute inicial. Se a gente jogar em todas as variáveis dá valores bem próximos né? Então vamos usar .
Iteração :
Então temos .
Critério de Parada:
Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.
Iteração :
Então temos .
Critério de Parada:
Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.
Iteração :
Então temos .
Critério de Parada:
Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.
Iteração :
Então temos .
Critério de Parada:
Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.
Iteração :
Então temos .
Critério de Parada:
Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.
Iteração :
Então temos .
Critério de Parada:
Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.
Iteração :
Então temos .
Critério de Parada:
Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.
Iteração :
Então temos .
Critério de Parada:
Beleza, o critério de parada foi atingido! Então nossa aproximação é:
Resposta
Nesse caso não podemos afirmar nada a respeito da convergência dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel quando aplicados a esse sistema. Eles podem convergir ou divergir.