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Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

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Exercício 31245678910111213

Enunciado

Dado o sistema linear abaixo. Use precisão ε = 0.1

2 x + y + 4 z =   1 4 x + y + 2 z =       1   x + 4 y + 2 z =     1

  1. O que é possível dizer sobre a sua convergência quando utilizado o método de Gauss- Seidel?
  2. Permutando-se as equações, seria possível garantir convergência para um chute inicial x 0 y 0 z 0 = 0 0 0 ?

Se possível, resolva o sistema para o chute inicial. Use ε = 0.1

Passo 1

No item (a), para analisar a convergência vamos usar o Critério de Sassenfeld. Mas essa pergunta do professor é meio maldosa... quer ver?

Lembra do critério? Se todos os β   que a gente calcular forem menores que 1, então converge. Bora ver!

β 1 = | a 12 | + | a 13 | | a 11 | = 1 + 4 2 = 2.5 > 1

E agoooora?? Já deu maior que 1, que que a gente diz pro professor??

Se todos os β fossem menores que 1, a gente poderia afirmar que o sistema converge. Maaaaas como o professor perguntou “O que é possível dizer sobre a sua convergência” a resposta é NADAA!

Quando o critério de convergência falha, nada podemos afirmar sobre a convergência!!

Olha que maldoso esse professor, que provavelmente tava esperando que a gente dissesse que não converge. HEHE

Passo 2

Para resolver o item (b), lembra que a gente é autorizado a trocar a ordem das linhas? Então, bora trocar e deixar de um jeito que o maior elemento (em módulo) de cada linha esteja na diagonal principal. Olha só...

4 x + y + 2 z =     1       x + 4 y + 2 z =     1 2 x + y + 4 z =       1  

Colocando as equações nessa ordem, percebe que o maior elemento de cada equação ficou na diagonal principal? Bora aplicar o critério de novo.

β 1 = | a 12 | + | a 13 | | a 11 | = 1 + 2 4 = 0 . . 75 < 1

β 2 = | a 21 | β 1 + | a 23 | | a 22 | = 1 * 0.75 + 2 4 = 0.69 < 1

β 3 = | a 31 | β 1 + | a 32 | β 2 | a 33 | = 2 * 0.75 + 1 * 0.69 4 = 0.55 < 1

Percebeu? Só de trocar a ordem das equações, já conseguimos provar que o sistema converge e é possível resolve-lo pelo método de Gauss- Seidel.

Mas e o chute inicial? Ele pediu para que a gente dissesse se para o chute inicial x 0 y 0 z 0 = 0 0 0 se o sistema converge. E a resposta é SIIIM! Porque se converge, converge para qualquer chute inicial.

Passo 3

Já que é para resolver, bora achar as equações de iteração. Pra isso, basta a gente isolar na primeira equação o x , na segunda o y   e na terceira o z .  

4 x + y + 2 z =     1       x + 4 y + 2 z =     1 2 x + y + 4 z =       1  

x k + 1 = 0.25 - 0.25 y k - 0.5 z k

y k + 1 = 0.25 - 0.25 x k + 1 - 0.5 z k

z k + 1 = 0.25 - 0.5 x k + 1 - 0.25 y k + 1

Esse k que aparece em cada fórmula é o número da iteração, começando em k = 0 (que é o nosso chute inicial).

Como chute inicial vamos usar x 0 y 0 z 0 = 0 0 0 . Pq se converge, converge para qualquer chute inicial .

Iteração 1:

x 1 = 0.25 - 0.25 * 0 - 0.5 * 0 = 0.25

y 1 = 0.25 - 0.25 * 0.25 - 0.5 * 0 = 0.1875

z 1 = 0.25 - 0.5 * 0.25 - 0.25 * 0.1875 = 0.078

x 1 y 1 z 1 = 0.25 0.1875 0.078

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 1 - x 0 | = 0.25 - 0 = 0.25 > ε

Falhou logo no primeiro. Então precisamos de mais iterações.

Iteração 2:

x 2 = 0.25 - 0.25 * 0.1875 - 0.5 * 0.078 = 0.1641

y 2 = 0.25 - 0.25 * 0.1641 - 0.5 * 0.078 = 0.17

z 2 = 0.25 - 0.5 * 0.1641 - 0.25 * 0.17 = 0.126

x 2 y 2 z 2 = 0.1641 0.17 0.126

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 2 - x 1 | = | 0.1641 - 0.25 | = 0.08 < ε

| y 2 - y 1 | = | 0.17 - 0.1875 | = 0.018 < ε

| z 2 - z 1 | = | 0.126 - 0.078 | = 0.04 < ε

Aeeew atendeu nosso critério de parada!!!

Resposta

  1. Nada podemos afirmar sobre a convergência.
  2. Sim, é possível pois se converge, converge para qualquer chute inicial.

x y z = 0.1641 0.17 0.126

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