Dar exemplo de um sistema de equações 2 × 2 que não seja diagonal dominante, mas seja convergente usando o método de Gauss-Seidel.

Obs.: Um sistema é diagonal dominante se para todas as linhas da matriz de coeficientes, o módulo do valor da matriz na diagonal é maior que a soma dos módulos de todos os demais valores (não-diagonais) daquela linha. 

Passo 1

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Beleza, o enunciado dá uma breve explicação do que é um sistema diagonal dominante. Em um sistema 2 × 2 isso significa:

a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2

a 11 > a 12

a 22 > a 21

E para que o sistema convirja pelo método de Gauss-Seidel temos que satisfazer o critério de Sassenfeld, que em um sistema 2 × 2 fica:

β 1 = a 12 a 11

β 2 = a 21 β 1 a 22

E queremos que β 1 < 1 e β 2 < 1 . Para que isso seja satisfeito sem usarmos um sistema diagonal dominante, basta que a 12 < a 11 e que a 21 = a 22 por exemplo. Se liga:

2 x 1 + x 2 = 3 x 1 + x 2 = 2

No sistema acima temos:

β 1 = 1 2 = 0.5 < 1

β 2 = 1 ∙ 0.5 1 = 0.5 < 1

Logo, o sistema converge pelo método de Gauss-Seidel, mas o sistema não é diagonal dominante.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

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