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Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

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Exercício 71234568910111213

Enunciado

Resolva pelo método iterativo de Gauss-Seidel, se possível. Use precisão ε = 0.1

0.2 x + y - 0.3 z = - 1.2 0.3 x - 0.1 y - z =       1.5   x - 0.5 y + 0.1 z =     0.5

Passo 1

Esse “se possível” do final da frase vai dar um trabalhinho a mais. Pq agora a gente vai ter que provar que pode usar Gauss-Seidel.

Para isso vamos usar o Critério de Sassenfeld pra verificar se rola mesmo. Lembra, se todos os β   que a gente calcular forem menores que 1, então converge. Bora ver!

β 1 = | a 12 | + | a 13 | | a 11 | = 1 + 0.3 0.2 > 1

E agoooora?? Deu maior que 1, que que a gente faz??

Lembra que a gente é autorizado a trocar a ordem das linhas? Então, bora trocar e deixar de um jeito que o maior elemento (em módulo) de cada linha esteja na diagonal principal. Olha só...

x - 0.5 y + 0.1 z =     0.5       0.2 x + y - 0.3 z = - 1.2 0.3 x - 0.1 y - z =       1.5  

Colocando as equações nessa ordem, percebe que o maior elemento de cada equação ficou na diagonal principal? Bora aplicar o critério de novo.

β 1 = | a 12 | + | a 13 | | a 11 | = 0.5 + 0.1 1 = 0.6 < 1

β 2 = | a 21 | β 1 + | a 23 | | a 22 | = 0.2 * 0.6 + 0.3 1 = 0.42 < 1

β 3 = | a 31 | β 1 + | a 32 | β 2 | a 33 | = 0.3 * 0.6 + 0.1 * 0.42 1 = 0.222 < 1

Percebeu? Só de trocar a ordem das equações, já conseguimos provar que o sistema converge e é possível resolve-lo pelo método de Gauss- Seidel

Passo 2

Feito isso agora é hora de achar as equações de iteração. Pra isso basta a gente isolar na primeira equação o x , na segunda o y   e na terceira o z .  

x - 0.5 y + 0.1 z =     0.5       0.2 x + y - 0.3 z = - 1.2 0.3 x - 0.1 y - z =       1.5  

x k + 1 = 0.5 + 0.5 y k - 0.1 z k

y k + 1 = - 1.2 - 0.2 x k + 1 + 0.3 z k

z k + 1 = - 1.5 + 0.3 x k + 1 - 0.1 y k + 1

Esse k que aparece em cada fórmula é o número da iteração, começando em k = 0 .

Passo 3

Como chute inicial vamos usar x 0 y 0 z 0 = 0 0 0 . Pq se converge, converge para qualquer chute inicial .

Iteração 1:

x 1 = 0.5 + 0.5 * 0 - 0.1 * 0 = 0.5

y 1 = - 1.2 - 0.2 * 0.5 + 0.3 * 0 = - 1.3

z 1 = - 1.5 + 0.3 * 0.5 - 0.1 * - 1.3 = - 1.22

x 1 y 1 z 1 = 0.5 - 1.3 - 1.22

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 1 - x 0 | = 0.5 - 0 = 0.5 > ε

Falhou logo no primeiro. Então precisamos de mais iterações.

Iteração 2:

x 2 = 0.5 + 0.5 * - 1.3 - 0.1 * - 1.22 = - 0.028

y 2 = - 1.2 - 0.2 * - 0.028 + 0.3 * - 1.22 = - 1.56

z 2 = - 1.5 + 0.3 * - 0.028 - 0.1 * - 1.56 = - 1.352

x 2 y 2 z 2 = - 0.028 - 1.56 - 1.352

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 2 - x 1 | = | - 0.028 - 0.5 | = 0.528 > ε

Fazer mais uma iteração aqui pra gente tentar chegar neh?

Iteração 3:

x 3 = 0.5 + 0.5 * - 1.56 - 0.1 * - 1.352 = - 0.1448

y 3 = - 1.2 - 0.2 * - 0.1448 + 0.3 * - 1.352 = - 1.577

z 3 = - 1.5 + 0.3 * - 0.1448 - 0.1 * - 1.577 = - 1.386

x 3 y 3 z 3 = - 0.1448 - 1.577 - 1.386

Critério de parada

| x 3 - x 2 | = | - 0.1448 + 0.028 | = 0.1168 > ε

Puuutz, furou mais uma vez. Mas tá percebendo que os números tá convergindo?? Bora fazer mais uma iteração!!

Iteração 4:

x 4 = 0.5 + 0.5 * - 1.577 - 0.1 * - 1.386 = - 0.15

y 4 = - 1.2 - 0.2 * - 0.15 + 0.3 * - 1.386 = - 1.59

z 4 = - 1.5 + 0.3 * - 0.15 - 0.1 * - 1.59 = - 1.39

x 4 y 4 z 4 = - 0.15 - 1.59 - 1.39

Critério de parada

| x 4 - x 3 | = | - 0.15 + 0.1448 | = 0.0052 < ε

| y 4 - y 3 | = | - 1.59 + 1.577 | = 0.013 < ε

| z 4 - z 3 | = | - 1.39 + 1.386 | = 0.004 < ε

Finalmente atendeu nosso critério de parada!!!

Resposta

x y z = - 0.15 - 1.59 - 1.39

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