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Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

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Exercício 61234578910111213

Enunciado

Resolva o sistema linear:

5 x + y + z =   5 3 x + 4 y + z =       6   3 x + 3 y + 6 z =     0

Pelo método de Gauss-Seidel com x 0 y 0 z 0 = 0 0 0 e ε = 5 × 10 - 2

Passo 1

Já que é para resolver, bora achar as equações de iteração. Pra isso, basta a gente isolar na primeira equação o x , na segunda o y   e na terceira o z .  

5 x + y + z =   5 3 x + 4 y + z =       6   3 x + 3 y + 6 z =     0

x k + 1 = 1 - 0.2 y k - 0.2 z k

y k + 1 = 1.5 - 0.75 x k + 1 - 0.25 z k

z k + 1 = 0 - 0.5 x k + 1 - 0.5 y k + 1

Como chute inicial vamos usar x 0 y 0 z 0 = 0 0 0 . Pq se converge, converge para qualquer chute inicial .

Iteração 1:

x 1 = 1 - 0.2 * 0 - 0.2 * 0 = 1

y 1 = 1.5 - 0.75 * 1 - 0.25 * 0 = 0.75

z 1 = 0 - 0.5 * 1 - 0.5 * 0.75 = - 0.875

x 1 y 1 z 1 = 1 0.75 - 0.875

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 1 - x 0 | = 1 - 0 = 1 > ε

Falhou logo no primeiro. Então precisamos de mais iterações.

Iteração 2:

x 2 = 1 - 0.2 * 0.75 - 0.2 * - 0.875 = 1.025

y 2 = 1.5 - 0.75 * 1.025 - 0.25 * - 0.875 = 0.95

z 2 = 0 - 0.5 * 1.025 - 0.5 * 0.95 = - 0.9875

x 2 y 2 z 2 = 1.025 0.95 - 0.9875

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 2 - x 1 | = | 1.025 - 1 | = 0.025 < ε

| y 2 - y 1 | = | 0.95 - 0.75 | = 0.2 > ε

Bora fazer +++ iterações então

Iteração 3:

x 3 = 1 - 0.2 * 0.95 - 0.2 * - 0.9875 = 1.0075

y 3 = 1.5 - 0.75 * 1.0075 - 0.25 * - 0.9875 = 0.9913

z 3 = 0 - 0.5 * 1.0075 - 0.5 * 0.9913 = - 0.9994

x 3 y 3 z 3 = 1.0075 0.9913 - 0.9994

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 3 - x 2 | = | 1.0075 - 1.025 | = 0.0175 < ε

| y 3 - y 2 | = | 0.9913 - 0.95 | = 0.0413 < ε

| z 3 - z 2 | = | - 0.9994 + 0.9875 | = 0.0119 < ε

Alô, Alô Graças a DEUS!!! Já pode parar!!!

Resposta

x y z = 1.0075 0.9913 - 0.9994

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