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Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

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Exercício 51234678910111213

Enunciado

Considere o sistema linear:

1 1 2 7 5 1 1 1 1 - 6 1 1 1 1 8 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = - 5 4 7 7

a Escreva um sistema linear equivalente tal que o método de Gauss-Seidel convirja.

b Aplique o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema modificado utilizando x 0 = 0 , 0,0 , 0 T e com precisão de 0.1 .

Passo 1

a Fazendo as seguintes trocas de linhas:

L 1 ↔ L 4

L 1 ↔ L 2

L 2 ↔ L 3

Obtemos o sistema:

5 1 1 1 1 - 6 1 1 1 1 8 1 1 1 2 7 x 1 x 2 x 3 x 4 = 4 7 7 - 5

Verificando o critério de Sassenfeld:

β 1 = 3 5 = 0.6

β 2 = 2.6 6 = 0.4 3 ¯

β 3 = 2.0 3 ¯ 8 = 0.2541 6 ¯

β 4 = 1.541 6 ¯ 7 = 0.22024

Logo, β = 0.6 < 1 . Ou seja, o método de Gauss-Seidel converge. Também podíamos ter dito que converge, pois a matriz é diagonal dominante. Ou ainda podíamos ter verificado o critério das linhas, que seria satisfeito implicando que o critério de Sassenfeld seria satisfeito também.

Passo 2

b As funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 4 - x 2 k - x 3 k - x 4 k 5

x 2 k + 1 = 7 - x 1 k + 1 - x 3 k - x 4 k - 6

x 3 k + 1 = 7 - x 1 k + 1 - x 2 k + 1 - x 4 k 8

x 4 k + 1 = - 5 - x 1 k + 1 - x 2 k + 1 - 2 x 3 k + 1 7

E como chute inicial temos x 0 = 0 , 0,0 , 0 com ε = 0.1

Iteração 1 :

x 1 1 = 4 - x 2 0 - x 3 0 - x 4 0 5

x 1 1 = 0.8

x 2 1 = 7 - x 1 1 - x 3 0 - x 4 0 - 6

x 2 1 = - 1.03

x 3 1 = 7 - x 1 1 - x 2 1 - x 4 0 8

x 3 1 = 0.9

x 4 1 = - 5 - x 1 1 - x 2 1 - 2 x 3 1 7

x 4 1 = - 0.94

Então temos x 1 = 0.8 , - 1.03,0.9 , - 0.94 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.8 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 2 :

x 1 2 = 4 - x 2 1 - x 3 1 - x 4 1 5

x 1 2 = 1.01

x 2 2 = 7 - x 1 2 - x 3 1 - x 4 1 - 6

x 2 1 = - 1

x 3 2 = 7 - x 1 2 - x 2 2 - x 4 1 8

x 3 2 = 0.99

x 4 2 = - 5 - x 1 2 - x 2 2 - 2 x 3 2 7

x 4 2 = - 1

Então temos x 2 = 1.01 , - 1,0.99 , - 1 .

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0 . 21 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 3 :

x 1 3 = 4 - x 2 2 - x 3 2 - x 4 2 5

x 1 3 = 1

x 2 3 = 7 - x 1 3 - x 3 2 - x 4 2 - 6

x 2 3 = - 1

x 3 3 = 7 - x 1 3 - x 2 3 - x 4 2 8

x 3 3 = 1

x 4 3 = - 5 - x 1 3 - x 2 3 - 2 x 3 3 7

x 4 3 = - 1

Então temos x 3 = 1 , - 1,1 , - 1 .

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0.01 < ε

x 2 3 - x 2 2 = 0.0 03 < ε

x 3 3 - x 3 2 = 0.0 09 < ε

x 4 3 - x 4 2 = 0.0 01 < ε

Beleza, o critério de parada foi atingido! Então nossa aproximação é:

x = 1 , - 1,1 , - 1

Resposta

a 5 1 1 1 1 - 6 1 1 1 1 8 1 1 1 2 7 x 1 x 2 x 3 x 4 = 4 7 7 - 5

b x = 1 , - 1,1 , - 1

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