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Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

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Exercício 12123456789101113

Enunciado

USP – Cálculo Numérico – P1 – 2017/1

4) u ,   v ,   w   e x são vetores do R 6 . Queremos determinar qual é o vetor y do espaço gerado por u , v   e w que se encontra mais próximo ao vetor x , na norma Euclidiana, o que nos leva a um problema de mínimos quadrados. Sabemos que os produtos escalares entre os vetores são:

u ⋅ v = 6 , u ⋅ w = 2 , v ⋅ w = 2 , x ⋅ u = 3 , x ⋅ v = 3 , x ⋅ w = 4

E que as normas ao quadrado de u ,   v e w são iguais a 8.

b) Calcule 1 iteração de Gauss-Seidel a partir da aproximação inicial nula e delimite o erro (em relação à solução exata do sistema linear) após esta iteração.

Passo 1

Falaaa.. beleza???

Nessa questão vamos calcular 1 iteração do método de Gauss-Seidel para o sistema que já montamos no item (a):

8 a + 2 b + 2 c = 4 2 a + 8 b + 6 c = 3 2 a + 6 b + 8 c = 3

Vamos trazer de lá também o β máximo:

β = 0,875

E a solução exata do sistema:

y - = 11 / 26   2 / 13 2 / 13

Se tivermos um sistema:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3

O método de Gauss-Seidel fica:

x 1 k + 1 = 1 a 11 ( b 1 - a 12 x 2 k - a 13 x 3 k x 2 k + 1 = 1 a 22 ( b 2 - a 21 x 1 k + 1 - a 23 x 3 k x 3 k + 1 = 1 a 33 ( b 3 - a 31 x 1 k + 1 - a 32 x 2 k + 1

Repara que o diferente nesse método é que sempre, na linha de baixa, já usamos o resultado da linha de cima.

Passo 2

Como a aproximação inicial é nula (0,0,0)

Para o a :

a 1 = 4 - 2 b 0 - 2 c 0 8

= 4 - 2 0 - 2 0 8

= 1 2

Para o b :

b 1 = 3 - 2 a 1 - 6 c 0 8

= 3 - 2 1 2 - 6 0 8

= 1 4

Para o c :

c 1 = 3 - 2 a 1 - 6 b 1 8

= 3 - 2 1 2 - 6 1 4 8

= 1 16

Então a primeira iteração resulta em:

y 1 = 1 / 2 1 / 4 1 / 16

Passo 3

Para calcular o erro:

y k - y -   = 1 2 - 11 26 1 4 - 2 13 1 16 - 2 13  

= 0,0769 0,0962 - 0,0913  

Lembrando que pegamos o maior número, em módulo. Então o erro será:

y k - y -   = 0,0962

Resposta

y 1 = 1 / 2 1 / 4 1 / 16

y k - y -   = 0,0962

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