USP – Cálculo Numérico – P1 – 2017/1
4) e são vetores do . Queremos determinar qual é o vetor do espaço gerado por e que se encontra mais próximo ao vetor , na norma Euclidiana, o que nos leva a um problema de mínimos quadrados. Sabemos que os produtos escalares entre os vetores são:
, , , , ,
E que as normas ao quadrado de e são iguais a 8.
a) Ordene os vetores da base de forma conveniente para garantir que o método de Gauss-Seidel quando aplicado ao sistema resultante seja convergente.
Passo 1
Falaaa... tudo bem??
Nessa questão vamos primeiro determinar, pelo método dos mínimos quadrados, qual é o vetor do espaço gerado por e que se encontra mais próximo do vetor .
E depois vamos ordená-los de forma a garantir que o método de Gauss-Seidel, quando aplicado ao sistema, seja convergente. Pra isso vamos usar o critério de Sassenfeld:
- Considerando um sistema linear . Se:
, para todo .
Então o método de Gauss-Seidel converge.
Passo 2
Como queremos um vetor do espaço gerado por , então podemos escrever como combinação linear dos três:
Foram dados toooodos os produtos internos (que maravilha) desses vetores combinados, então só precisamos montar o problema de mínimos quadrados:
Ficamos com o sistema:
Verificando o critério de Sassenfeld:
- Para :
Como não é menor que 1, então não converge.
Passo 3
Vamos mudar a ordem dos vetores... E se colocássemos o na frente?
Daí temos:
Ficamos com o sistema:
Verificando o critério de Sassenfeld:
- Para :
- Para
- Para
Como todos são menores que 1, então o critério de Sassenfeld é satisfeito.
Daí a ordem dos vetores será:
Resolvendo o sistema, pra achar e :