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Exercícios Resolvidos de Métodos das Diferenças Finitas

Ver Teoria
Exercício 912345678

Enunciado

USP – Cálculo Numérico – PSUB – 2017

3) Uma fórmula de integração aberta não faz uso dos valores da função nos extremos do intervalo. Por exemplo, para calcular ∫ 0 4 f x d x dividimos 0,4 em quatro subintervalos de mesmo tamanho e aproximamos a integral de f pela integral do polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola f nos pontos interiores 1, 2 e 3.

a) Determine pelo método de diferenças divididas o polinômio p que interpola f nestes 3 pontos.

b) Integre p no intervalo 0,4 (pela fórmula de Simpson) de maneira a obter a fórmula de integração. Há diferença caso você integre p exatamente?

c) Use a fórmula obtida para calcular ∫ 0 1 1 x d x (sim, uma mudança de variáveis se faz necessária!)

Passo 1

Falaa... tudo bem???

Nessa questão vamos achar o polinômio que interpola f nos pontos 1,2 e 3.

O polinômio tem a cara:

p n x = d 0 + d 1 x - x 0 + … + d n x - x 0 x - x 1 … x - x n - 1

E pra achar esses d i vamos usar o método das diferenças divididas. Montamos a tabelinha fazendo a diferença e dividindo pela diferença... sacou? Rs

Vamos botar a mão na massa que fica mais fácil de enxergar.

Passo 2

Como o grau do polinômio é menor ou igual a 2, vamos ter algo como:

p 2 x = d 0 + d 1 x - x 0 + d 2 x - x 0 x - x 1

E pra achar os d i vamos montar uma tabelinha com as diferenças divididas:

Então temos que:

d 0 = f 1

d 1 = f 2 - f 1 2 - 1 = f 2 - f 1

d 2 = f 2,3 - f 1,2 3 - 1 = f 3 + f 1 2

E o polinômio interpolador fica:

p 2 x = f ( 1 ) + f 2 - f 1 x - 1 + f 3 + f 1 2 x - 1 x - 2

Resposta

p 2 x = f ( 1 ) + f 2 - f 1 x - x 0 + f 3 + f 1 2 x - x 0 x - x 1

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