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Exercícios Resolvidos de Métodos das Diferenças Finitas

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Exercício 612345789

Enunciado

Formule, por diferenças finitas, sistemas de equações cuja solução aproxime a solução do seguinte PVC:

y ' ' = 2 y +   y 3 - t                                   y 0 = 4                                                                       y 4 = 2                                                                      

Considere, se necessário, h = 1 .

Passo 1

Faaaala aeee, o professor te deu um mole e pediu pra vc só montar o sistema de equações. Se vc olhar bem, existe um y 3 na EDO, que significa que o sistema que a gente vai obter é não linear. Ainda bem que ele nem quis que resolvesse e só achar e deixar lá. Então partiu!!

Já vamos fazer aquela tabelinha looouca pra ajudar a gente. Vamos precisar dela na hora de montar as equações pra cada i .

Bora substituir na EDO as derivadas numéricas.

y ' ' = y * s e n y + x   y

y i + 1 - 2 y i + y i - 1 h 2 =   2 y i +   y i 3 - t i  

Multiplicando os dois lados por h 2

y i + 1 - 2 y i + y i - 1 = 2 h 2 y i + h 2 y i 3 - h 2 t i  

E juntando os termos semelhantes, temos:

y i + 1 + y i - 2 - 2 h 2 - h 2 y i + y i - 1 = - h 2 t i

y i + 1 - y i 2 + h 2 ( 2 + y i 2 ) + y i - 1 = - h 2 t i

Como h = 1

y i + 1 - y i 2 + ( 2 + y i 2 ) + y i - 1 = - t i

Para i = 1 , teremos:

y 2 - y 1 2 + ( 2 + y 1 2 ) + y 0 = - t 1

Mas nós sabemos, direto das condições de contorno, que y 0 = 4 e t 1 = 1 . Então,

y 2 - y 1 4 + y 1 2 = - 5

Para i = 2 , teremos:

y 3 - y 2 2 + 2 + y 2 2 + y 1 = - t 2

y 3 - y 2 4 + y 2 2 + y 1 = - 2

Para i = 3 , teremos:

y 4 - y 3 2 + ( 2 + y 3 2 ) + y 2 = - t 3

Lá da tabela que nós montamos no passo 1 sabemos que y 4 = 2 e t 3 = 3 , então podemos substituir esse valores na equação.

- y 3 4 + y 3 2 ) + y 2 = - 5

Resposta

y 2 - y 1 4 + y 1 2 = - 5 y 3 - y 2 4 + y 2 2 + y 1 = - 2 - y 3 4 + y 3 2 ) + y 2 = - 5

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