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Exercícios Resolvidos de Métodos de Runge-Kutta

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Exercício 21345678

Enunciado

Calcule y 1 para y ' = y - x , y 0 = 2 , utilizando Runge-Kutta de 4ª ordem com h = 0.2 . Compare o resultado com o valor exato de y x nos pontos x i sabendo que y x = e x + x + 1 .

Passo 1

Temos:

y ' = y - x

y 0 = 2

x 0 = 0

E com passo h = 0.2 teremos o seguinte:

Agora é só jogar na fórmula:

Iteração 1 x = 0.2 :

k 1 0 = h f x 0 , y 0 = h y 0 - x 0 = 0.4

k 2 0 = h f x 0 + h 2 , y 0 + k 1 0 2 = h y 0 + k 1 0 2 - x 0 + h 2 = 0.4 2

k 3 0 = h f x 0 + h 2 , y 0 + k 2 0 2 = h y 0 + k 2 0 2 - x 0 + h 2 = 0.422

k 4 0 = h f x 0 + h , y 0 + k 3 0 = h y 0 + k 3 0 - x 0 + h = 0.4444

y 1 = y 0 + 1 6 k 1 0 + 2 k 2 0 + 2 k 3 0 + k 4 0 = 2.4214

Iteração 2 x = 0.4 :

k 1 1 = h f x 1 , y 1 = h y 1 - x 1 = 0.44428

k 2 1 = h f x 1 + h 2 , y 1 + k 1 1 2 = h y 1 + k 1 1 2 - x 1 + h 2 = 0.46871

k 3 1 = h f x 1 + h 2 , y 1 + k 2 1 2 = h y 1 + k 2 1 2 - x 1 + h 2 = 0.47115

k 4 1 = h f x 1 + h , y 1 + k 3 1 = h y 1 + k 3 1 - x 1 + h = 0.49851

y 2 = y 1 + 1 6 k 1 1 + 2 k 2 1 + 2 k 3 1 + k 4 1 = 2.89182

Iteração 3 x = 0.6 :

k 1 2 = h f x 2 , y 2 = h y 2 - x 2 = 0.49836

k 2 2 = h f x 2 + h 2 , y 2 + k 1 2 2 = h y 2 + k 1 2 2 - x 2 + h 2 = 0.5282

k 3 2 = h f x 2 + h 2 , y 2 + k 2 2 2 = h y 2 + k 2 2 2 - x 2 + h 2 = 0.53118

k 4 2 = h f x 2 + h , y 2 + k 3 2 = h y 2 + k 3 2 - x 2 + h = 0.56460

y 3 = y 2 + 1 6 k 1 2 + 2 k 2 2 + 2 k 3 2 + k 4 2 = 3.42211

Iteração 4 x = 0.8 :

k 1 3 = h f x 3 , y 3 = h y 3 - x 3 = 0.56442

k 2 3 = h f x 3 + h 2 , y 3 + k 1 3 2 = h y 3 + k 1 3 2 - x 3 + h 2 = 0.60086

k 3 3 = h f x 3 + h 2 , y 3 + k 2 3 2 = h y 3 + k 2 3 2 - x 3 + h 2 = 0.60451

k 4 3 = h f x 3 + h , y 3 + k 3 3 = h y 3 + k 3 3 - x 3 + h = 0.64532

y 4 = y 3 + 1 6 k 1 3 + 2 k 2 3 + 2 k 3 3 + k 4 3 = 4.02552

Iteração 5 x = 1 :

k 1 4 = h f x 4 , y 4 = h y 4 - x 4 = 0.64510

k 2 4 = h f x 4 + h 2 , y 4 + k 1 4 2 = h y 4 + k 1 4 2 - x 4 + h 2 = 0.68961

k 3 4 = h f x 4 + h 2 , y 4 + k 2 4 2 = h y 4 + k 2 4 2 - x 4 + h 2 = 0.69407

k 4 4 = h f x 4 + h , y 4 + k 3 4 = h y 4 + k 3 4 - x 4 + h = 0.74392

y 5 = y 4 + 1 6 k 1 4 + 2 k 2 4 + 2 k 3 4 + k 4 4 = 4.71825

Logo, a aproximação é:

y 1 ≅ 4.71825

Passo 2

Pra fechar o exercício podemos acrescentar mais duas colunas na nossa tabela. Uma com os valores exatos encontrados por meio de y = e x + x + 1 e a outra com o erro absoluto.

Vale ressaltar que os erro 0 obtido para y 0.2 e y 0.4 indica que, trabalhando com 5 casas decimais, o erro é de zero. No entanto, ele ainda existe, apenas é menor que 10 - 5 !

Resposta

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