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Exercícios Resolvidos de Métodos de Runge-Kutta

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Exercício 12345678

Enunciado

Determine a solução numérica aproximada da seguinte equação diferencial ordinária com passo h = 0.2 :

y ' + 2 y = 0 ,       ∀ x ∈ 0,1 y 0 = 1

a Usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem.

b Sabendo-se que a solução exata da equação é y = e - 2 x , compare com a solução aproximada obtida no item anterior.

Passo 1

a Temos:

y ' = - 2 y

y 0 = 1

x 0 = 0

E com passo h = 0.2 teremos o seguinte:

Agora é só jogar na fórmula:

Iteração 1 x = 0.2 :

k 1 0 = h f x 0 , y 0 = h - 2 y 0 = - 0.4

k 2 0 = h f x 0 + h 2 , y 0 + k 1 0 2 = h - 2 y 0 + k 1 0 2 = - 0.32

k 3 0 = h f x 0 + h 2 , y 0 + k 2 0 2 = h - 2 y 0 + k 2 0 2 = - 0.336

k 4 0 = h f x 0 + h , y 0 + k 3 0 = h - 2 y 0 + k 3 0 = - 0.2656

y 1 = y 0 + 1 6 k 1 0 + 2 k 2 0 + 2 k 3 0 + k 4 0 = 0.6704

Iteração 2 x = 0 . 4 :

k 1 1 = h f x 1 , y 1 = h - 2 y 1 = - 0.26816

k 2 1 = h f x 1 + h 2 , y 1 + k 1 1 2 = h - 2 y 1 + k 1 1 2 = - 0.21453

k 3 1 = h f x 1 + h 2 , y 1 + k 2 1 2 = h - 2 y 1 + k 2 1 2 = - 0.22525

k 4 1 = h f x 1 + h , y 1 + k 3 1 = h - 2 y 1 + k 3 1 = - 0.17806

y 2 = y 1 + 1 6 k 1 1 + 2 k 2 1 + 2 k 3 1 + k 4 1 = 0.44944

Iteração 3 x = 0 . 6 :

k 1 2 = h f x 2 , y 2 = h - 2 y 2 = - 0.17977

k 2 2 = h f x 2 + h 2 , y 2 + k 1 2 2 = h - 2 y 2 + k 1 2 2 = - 0.14382

k 3 2 = h f x 2 + h 2 , y 2 + k 2 2 2 = h - 2 y 2 + k 2 2 2 = - 0.15101

k 4 2 = h f x 2 + h , y 2 + k 3 2 = h - 2 y 2 + k 3 2 = - 0.11937

y 3 = y 2 + 1 6 k 1 2 + 2 k 2 2 + 2 k 3 2 + k 4 2 = 0.30130

Iteração 4 x = 0.8 :

k 1 3 = h f x 3 , y 3 = h - 2 y 3 = - 0.12052

k 2 3 = h f x 3 + h 2 , y 3 + k 1 3 2 = h - 2 y 3 + k 1 3 2 = - 0.09642

k 3 3 = h f x 3 + h 2 , y 3 + k 2 3 2 = h - 2 y 3 + k 2 3 2 = - 0.10124

k 4 3 = h f x 3 + h , y 3 + k 3 3 = h y 3 + k 3 3 = - 0.08003

y 4 = y 3 + 1 6 k 1 3 + 2 k 2 3 + 2 k 3 3 + k 4 3 = 0.20199

Iteração 5 x = 1 :

k 1 4 = h f x 4 , y 4 = h - 2 y 4 = - 0.08080

k 2 4 = h f x 4 + h 2 , y 4 + k 1 4 2 = h - 2 y 4 + k 1 4 2 = - 0.06464

k 3 4 = h f x 4 + h 2 , y 4 + k 2 4 2 = h - 2 y 4 + k 2 4 2 = - 0.06787

k 4 4 = h f x 4 + h , y 4 + k 3 4 = h - 2 y 4 + k 3 4 = - 0.05365

y 5 = y 4 + 1 6 k 1 4 + 2 k 2 4 + 2 k 3 4 + k 4 4 = 0.13542

Beleza, agora podemos completar nossa tabelinha!

Passo 2

b Pra fechar o exercício podemos acrescentar mais duas colunas na nossa tabela. Uma com os valores exatos encontrados por meio de y = e - 2 x e a outra com o erro absoluto.

Resposta

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