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Exercícios Resolvidos de Métodos de Runge-Kutta

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Exercício 51234678

Enunciado

Considere o seguinte problema de valor inicial y ' = - y + t + 2 ,   y 0 = 2 ,   t ∈ 0,0.3 ,   h = 0.1 . Pede-se:

a Calcule uma aproximação para y 0.3 pelo método de Runge-Kutta de ordem 4 .

b Compare o resultado obtido com o valor exato y 0.3 dado pela solução y = e - t + t + 1 .

Passo 1

a Pelas informações que ele nos deu temos:

y ' = - y + t + 2

y 0 = 2

t 0 = 0

E com passo h = 0.1 teremos o seguinte:

Agora é só jogar na fórmula e ser feliz:

Iteração 1 x = 0.1 :

k 1 0 = h f t 0 , y 0 = h - y 0 + t 0 + 2 = 0

k 2 0 = h f t 0 + h 2 , y 0 + k 1 0 2 = h - y 0 + k 1 0 2 + t 0 + h 2 + 2 = 0.005

k 3 0 = h f t 0 + h 2 , y 0 + k 2 0 2 = h - y 0 + k 2 0 2 + t 0 + h 2 + 2 = 0.00475

k 4 0 = h f t 0 + h , y 0 + k 3 0 = h - y 0 + k 3 0 + t 0 + h + 2 = 0.009525

y 1 = y 0 + 1 6 k 1 0 + 2 k 2 0 + 2 k 3 0 + k 4 0 = 2.00484

Iteração 2 x = 0.2 :

k 1 1 = h f t 1 , y 1 = h - y 1 + t 1 + 2 = 0.00952

k 2 1 = h f t 1 + h 2 , y 1 + k 1 1 2 = h - y 1 + k 1 1 2 + t 1 + h 2 + 2 = 0.01404

k 3 1 = h f t 1 + h 2 , y 1 + k 2 1 2 = h - y 1 + k 2 1 2 + t 1 + h 2 + 2 = 0.01381

k 4 1 = h f t 1 + h , y 1 + k 3 1 = h - y 1 + k 3 1 + t 1 + h + 2 = 0.01813

y 2 = y 1 + 1 6 k 1 1 + 2 k 2 1 + 2 k 3 1 + k 4 1 = 2.01873

Iteração 3 x = 0.3 :

k 1 2 = h f t 2 , y 2 = h - y 2 + t 2 + 2 = 0.01813

k 2 2 = h f t 2 + h 2 , y 2 + k 1 2 2 = h - y 2 + k 1 2 2 + t 2 + h 2 + 2 = 0.02222

k 3 2 = h f t 2 + h 2 , y 2 + k 2 2 2 = h - y 2 + k 2 2 2 + t 2 + h 2 + 2 = 0.02202

k 4 2 = h f t 2 + h , y 2 + k 3 2 = h - y 2 + k 3 2 + t 2 + h + 2 = 0.02593

y 3 = y 2 + 1 6 k 1 2 + 2 k 2 2 + 2 k 3 2 + k 4 2 = 2.040818422

Ufa, chegamos na nossa aproximação!

y 0.3 ≅ 2.040818422

Passo 2

b O valor exato seria:

y t = e - t + t + 1

y 0.3 = 2.04081822068

Comparando esses dois valores temos como erro absoluto:

2.040818422 - 2.04081822068 = 2.0132 × 10 - 7

Resposta

y 0.3 ≅ 2.040818422

E A = 2.0132 × 10 - 7

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