Considere o seguinte problema de valor inicial y ' = - y + t + 2 , y 0 = 2 , t ∈ 0,0.3 , h = 0.1 . Pede-se: a Calcule uma aproximação para y 0.3 pelo método de Runge-Kutta de ordem 4 . b Compare o resultado obtido com o valor exato y 0.3 dado pela solução y = e - t + t + 1 . Passo 1 a Pelas informações que ele nos deu temos: y ' = - y + t + 2 y 0 = 2 t 0 = 0 E com passo h = 0.1 teremos o seguinte: Agora é só jogar na fórmula e ser feliz: Iteração 1 x = 0.1 : k 1 0 = h f t 0 , y 0 = h - y 0 + t 0 + 2 = 0 k 2 0 = h f t 0 + h 2 , y 0 + k 1 0 2 = h - y 0 + k 1 0 2 + t 0 + h 2 + 2 = 0.005 k 3 0 = h f t 0 + h 2 , y 0 + k 2 0 2 = h - y 0 + k 2 0 2 + t 0 + h 2 + 2 = 0.00475 k 4 0 = h f t 0 + h , y 0 + k 3 0 = h - y 0 + k 3 0 + t 0 + h + 2 = 0.009525 y 1 = y 0 + 1 6 k 1 0 + 2 k 2 0 + 2 k 3 0 + k 4 0 = 2.00484 Iteração 2 x = 0.2 : k 1 1 = h f t 1 , y 1 = h - y 1 + t 1 + 2 = 0.00952 k 2 1 = h f t 1 + h 2 , y 1 + k 1 1 2 = h - y 1 + k 1 1 2 + t 1 + h 2 + 2 = 0.01404 k 3 1 = h f t 1 + h 2 , y 1 + k 2 1 2 = h - y 1 + k 2 1 2 + t 1 + h 2 + 2 = 0.01381 k 4 1 = h f t 1 + h , y 1 + k 3 1 = h - y 1 + k 3 1 + t 1 + h + 2 = 0.01813 y 2 = y 1 + 1 6 k 1 1 + 2 k 2 1 + 2 k 3 1 + k 4 1 = 2.01873 Iteração 3 x = 0.3 : k 1 2 = h f t 2 , y 2 = h - y 2 + t 2 + 2 = 0.01813 k 2 2 = h f t 2 + h 2 , y 2 + k 1 2 2 = h - y 2 + k 1 2 2 + t 2 + h 2 + 2 = 0.02222 k 3 2 = h f t 2 + h 2 , y 2 + k 2 2 2 = h - y 2 + k 2 2 2 + t 2 + h 2 + 2 = 0.02202 k 4 2 = h f t 2 + h , y 2 + k 3 2 = h - y 2 + k 3 2 + t 2 + h + 2 = 0.02593 y 3 = y 2 + 1 6 k 1 2 + 2 k 2 2 + 2 k 3 2 + k 4 2 = 2.040818422 Ufa, chegamos na nossa aproximação! y 0.3 ≅ 2.040818422 Passo 2 b O valor exato seria: y t = e - t + t + 1 y 0.3 = 2.04081822068 Comparando esses dois valores temos como erro absoluto: 2.040818422 - 2.04081822068 = 2.0132 × 10 - 7 Resposta y 0.3 ≅ 2.040818422 E A = 2.0132 × 10 - 7 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios Resolvidos de Métodos de Runge-KuttaVer TeoriaExercício 51234678Carregar mais exercícios (8) Exercícios de Livros Relacionados10. Substitua y ' ( x ) jo PVI abaixo por y x + h - y x / h e obtenha uma equação diferencial de diferenças para aproximar a solução da equação diferencial.Faça h = 0.2 e h = 0.1 e encontre, em cada c2. O problema de valor inicial y ' = - 20 y y 0 = 1 ,t e mp o rú n i c as o l u ç ã oe x a t ay x = e - 20 x ú çã a) Verifique a afirmação acimab) Verifique que qualquer método de Runge-Kutta de 2ª or15. Calcule y ( 1 ) para y ' = y - x ; y 0 = 2 , utilizando Euler e Runge-Kutta de 4 ª ª ordem com h = 0.2 . Comparar seus resultados com os valores exatos de y ( x ) nos pontos x i , sabendo que y x 14. Resolva o PVI do exercício 10 por outros métodos e vários valores de h11. Use a aproximação do exercício 10 para o problema do exercício 3Ver TambémVer tudo sobre Cálculo NuméricoVer tudo sobre Resolução Numérica de Equações DiferenciaisLista de exercícios de Métodos de Runge-Kutta