Exercícios Resolvidos de Movimento em Relação a Eixos que Giram

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Enunciado

Um brinquedo de um parque de diversões consiste em uma plataforma girante P , que tem velocidade angular constante ω P = 1,5   r a d / s , e quatro barquinhas, C , montadas na plataforma, que têm velocidade angular constante ω C / P = 2   r a d / s , medida relativamente à plataforma. Determine a ) a velocidade e b ) a aceleração do passageiro B , na situação mostrada na figura.

Dados: R = 3   m ; r = 0,75   m .

Passo 1

Vamos começar calculando a velocidade do passageiro que está no ponto B :

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

Primeiro temos que identificar o que é cada termo da nossa equação no problema que queremos resolver!

A velocidade v A é aquela velocidade que queremos saber, então ela corresponde a velocidade do passageiro que está no ponto B . Então, para ficar mais intuitivo:

v A = v P a s s a g e i r o

A velocidade v B é a velocidade de onde está o nosso referencial fixo, que é o próprio brinquedo (é onde tudo está acontecendo):

v B = v B r i n q u e d o

Mas repare que a plataforma só gira em torno do ponto P , ou seja, ela só tem velocidade angular:

v B = v B r i n q u e d o = 0

A velocidade angular ω que aparece na nossa equação também é a do brinquedo que está girando com 1,5   r a d / s no sentido anti-horário (positivo), então o vetor será:

ω → = ω → P = 1,5   k ^   r a d / s

O vetor posição r → pode ser obtido na figura:

Como o raio do movimento da cadeiras é de 3   m , então o vetor será:

r → = 3 i ^   m

O vetor velocidade relativa v r e l   corresponde a velocidade que o passageiro tem com relação ao brinquedo. Mas repare que só temos a velocidade angular relativa:

ω C / P = ω r e l = 2   r a d / s

Como a cadeira está girando no sentido anti-horário, essa velocidade angular é positiva e seu vetor é:

ω → r e l = 2 k ^   r a d / s

Passo 2

Mas como vamos achar o valor da velocidade relativa ( v r e l )? Repare que se olharmos só para as cadeiras, vamos ver que elas estão fazendo um movimento circular e também transladando devido a rotação da plataforma do brinquedo.

Sabemos que:

v → = ω → × r →

Porém, a velocidade angular da cadeira vai ser a soma da velocidade angular relativa (que a cadeira tem com relação à plataforma do brinquedo) com a velocidade angular do próprio brinquedo:

ω → c a d e i r a = ω → r e l + ω → P         →             ω → c a d e i r a = 2 k ^ + 1,5   k ^

ω → c a d e i r a = 3,5   k ^   r a d / s  

O vetor posição do passageiro B com relação ao centro da cadeira é:

r → = 0,75 i ^   m

Então:

v → r e l = ω → r e l × r →         →             v → r e l = 3,5 k ^ × 0,75 i ^

Nossa matriz fica:

i ^ j ^ k ^ 0 0 3,5 0,75 0 0 = 0 3,5 0 0 i ^ - 0 3,5 0,75 0 j ^ + 0 0 0,75 0 k ^

v → r e l = 2,63 j ^   m / s

Passo 3

Agora sim podemos calcular a velocidade do passageiro:

v → P a s s a g e i r o = ω → P × r → + v → r e l       →             v → P a s s a g e i r o = 1,5   k ^ × 3 i ^ + 2,63 j ^      

Vamos resolver o produto vetorial primeiro:

i ^ j ^ k ^ 0 0 1,5 3 0 0 = 0 1,5 0 0 i ^ - 0 1,5 3 0 j ^ + 0 0 3 0 k ^

ω → P × r → = 4,5 j ^  

Então:

v → P a s s a g e i r o = 1,5   k ^ × 3 i ^ + 2,63 j ^       →           v → P a s s a g e i r o = 4,5 j ^ + 2,63 j ^

v → P a s s a g e i r o = 7,13 j ^   m / s

v → P a s s a g e i r o = 7,13   m / s

Passo 4

Agora vamos calcular a aceleração do passageiro:

a → A = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

Vamos mais uma vez relacionar cada termo da equação com o que está acontecendo na situação do problema.

A aceleração a A corresponde a aceleração do passageiro e justamente o que queremos saber:

a A = a P a s s a g e i r o

A aceleração angular do brinquedo α , neste nosso caso, é nula. Isso porque no enunciado foi dito que a plataforma do brinquedo tem uma velocidade angular constante.

α = 0

A velocidade angular ω continua a mesma da outra equação:

ω → = ω → P = 1,5   k ^   r a d / s

A velocidade relativa também continua a mesma:

v → r e l = 2,63 j ^   m / s

E a aceleração relativa das cadeiras é zero também, porque a velocidade angular das cadeiras é constante.

Vamos fazer uma observação importante: no termo correspondente à aceleração de coriolis ( 2 ω → × v → r e l ) não podemos usar a velocidade angular da plataforma, temos que fazer o produto vetorial com a mesma velocidade angular que usamos para achar a velocidade relativa:

ω → c a d e i r a × v → r e l       →         ω → c a d e i r a × ( ω → c a d e i r a × r → )

Então, ao invés de usarmos a aceleração de Coriolis, vamos usar essa expressão aí de cima.

Então, nossa equação vai ficar:

a → P a s s a g e i r o = ω → P × ω → P × r → + ω → c a d e i r a × v → r e l

Já sabemos que:

ω → P × r → = 4,5 j ^  

Então:

a → P a s s a g e i r o = 1,5   k ^ × 4,5 j ^ + 3,5 k ^   × 2,63 j ^

Vamos resolver os produtos vetoriais:

1,5   k ^ × 4,5 j ^     →

i ^ j ^ k ^ 0 0 1,5 0 4,5 0 = 0 1,5 4,5 0 i ^ - 0 1,5 0 0 j ^ + 0 0 0 4,5 k ^

1,5   k ^ × 4,5 j ^ = - 6,75 i ^

E:

3,5 k ^   × 2,63 j ^       →

i ^ j ^ k ^ 0 0 3,5 0 2,63 0 = 0 3,5 2,63 0 i ^ - 0 3,5 0 0 j ^ + 0 0 0 2,63 k ^

2 3,5   k ^   × 2,63 j ^ = - 9,21 i ^      

Vamos ter que:

a → P a s s a g e i r o = - 6,75 i ^ - 9,21 i ^

a → P a s s a g e i r o = - 15,94 i ^   m / s 2

a → P a s s a g e i r o = - 15,94 i ^     m / s 2

Resposta

a )     v → P a s s a g e i r o = 7,13 j ^   m / s

b )     a → P a s s a g e i r o = - 15,94 i ^   m / s 2

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