Num dado instante, a barra tem velocidade angular e aceleração angular . Determine a velocidade angular e a aceleração angular da barra , nesse instante. O colar em está ligado por pino em e desliza em .
Passo 1
Nesse tipo de questão, a primeira coisa que temos que fazer é posicionar o eixo que será móvel e aquele que será fixo.
Repare que o colar em se move ao longo da barra , então vamos posicionar o nosso eixo móvel () nesta barra:
Nosso eixo fixo () vai ser aquele que estamos acostumados:
Passo 2
Feito isso podemos começar a resolver nossa questão. Vamos começar pela velocidade do ponto com relação ao eixo móvel, pois temos informações sobre o movimento da barra :
Primeiro temos que identificar o que é cada termo da nossa equação no problema que queremos resolver!
A velocidade é a velocidade do ponto com relação ao referencial fixo. Mas repare que o ponto é fixo, logo sua velocidade é nula:
A velocidade angular que aparece na nossa equação nós já sabemos que é positiva:
E o vetor ?
A velocidade relativa corresponde a velocidade do ponto quando ele se move no eixo móvel. Como o colar só pode se mover ao longo da barra , o vetor velocidade será:
Porém, antes de colocar na equação temos que decompor o vetor para o eixo fixo. Como não sabemos seu valor, vamos ter que:
Agora sim podemos substituir tudo que achamos na nossa equação:
Vamos resolver este produto vetorial:
Então, temos que:
Vamos guardar essa equação, pois não conseguimos avançar só com ela.
Passo 3
Temos que buscar outra forma de achar a velocidade do ponto . Para isso vamos usar a barra . Repare que nesta barra o ponto gira em torno do ponto que é fixo, então vamos usar nossa velha conhecida equação:
Não sabemos o valor da velocidade angular da barra , mas vamos supor que ela está girando no sentido anti-horário (sentido positivo):
E o vetor é:
Então, a velocidade do ponto será:
Resolvendo este produto vetorial, vamos ter que:
Então:
Passo 4
Agora sim temos duas equações que relacionam a velocidade do ponto :
E:
Vamos igualar estas equações:
Agora temos que separar as componentes e em duas equações:
Da segunda equação tiramos que:
E da primeira equação temos que:
Como a achamos um valor negativo, significa que arbitramos o sentido contrário para a velocidade angular da barra :
Passo 5
Nosso próximo passo é acharmos a aceleração angular da barra . Para isso, vamos usar a equação da aceleração do ponto com relação ao eixo móvel:
Vamos mais uma vez relacionar cada termo da equação com o que está acontecendo na situação do problema.
Como o ponto está fixo, ele não possui aceleração:
A aceleração angular da barra é:
A aceleração relativa corresponde a aceleração do ponto quando ele se move no eixo móvel. Como o colar só pode se mover ao longo da barra , o vetor aceleração será:
Não esqueça que tem que decompor o vetor velocidade relativa, cujo valor achamos no passo anterior, nos eixos também. Vai ficar assim:
E o restante dos termos nós já sabemos, então a nossa equação fica:
Vamos resolver cada um dos produtos vetoriais:
O próximo nós já tínhamos resolvido antes:
Então:
Calma, vamos para o nosso último produto vetorial:
Agora, vamos substituir isso na nossa equação lá de cima:
Beleza?
Vamos dar aquela ajeitada na nossa equação:
Bem melhor agora, né?
Mas ainda não conseguimos achar a aceleração angular da barra só com esta equação aí. Temos que partir para outra!!!
Passo 6
Vamos usar a barra para calcular a aceleração do ponto , já que ele realiza um movimento circular em torno do ponto que é fixo:
Sabemos que:
E que:
Nós não sabemos o valor deda aceleração angular da barra , mas vamos arbitrar o sentido positivo:
Então a nossa equação fica:
Resolvendo esse produto vetorial temos que:
Então:
Passo 7
Pronto! Agora temos duas equações que relacionam a aceleração do ponto :
E:
Vamos igualar essas equações:
Agora é só separar as componentes e cada qual na sua equação:
Da segunda equação tiramos que:
E da primeira equação temos que:
Como o sinal deu negativo, significa que arbitramos o sentido contrário para a aceleração angular da barra :