O disco circular rola sem deslizar com uma velocidade angular no sentido horário ω = 4   r a d / s . Para o instante representado, escreva as expressões vetoriais para a a ) velocidade de A com relação a B e para a b ) velocidade de P .

Passo 1

Primeiro, vamos achar a velocidade de A com relação a B :

v → A / B =   ω →   ×   r → A / B

A velocidade angular está sempre no eixo z . Mas qual é o seu sinal? Repare que a velocidade angular faz o disco girar no sentido horário e este sentido foi o que estabelecemos como negativo:

ω → = - 4 k ^

Repare também que a velocidade angular é a mesma para todos os pontos que pertencem ao disco:

ω → A = ω → B = ω → P = ω → = - 4 k ^

Beleza?

Falta acharmos o valor de r → A / B :

Não se esqueça que o vetor r → A / B vai ter sua origem no ponto B e vai chegar no ponto A , já que o exercício quer a velocidade de A com relação a B .

Como vamos fazer um produto vetorial, vamos decompor o vetor r → A / B :

r → A / B = - 0,3 i ^ + 0,3 j ^   m

Agora é só substituirmos:

v → A / B =   ω →   ×   r → A / B = - 4 k ^ × - 0,3 i ^ + 0,3 j ^

Vamos montar nossa matriz para fazer o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 4 - 0,3 0,3 0 = ω →   ×   r → A / B = 1,2 i ^ + 1,2 j ^ + 0 k ^

Então, a velocidade de A com relação a B :

v → A / B = 1,2 i ^ + 1,2 j ^   m / s

Passo 2

Agora vamos achar a velocidade do ponto P . Repare que o ponto P gira em torno do ponto O que é o centro do círculo:

Vamos ter que:

v → P = v → O +   v → P / O

Onde:

v → P / O = ω → × r → P / O

Vamos fazer esse produto vetorial. Sabendo que:

ω → = - 4 k ^

r → P / O = - 0,2 i ^

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 4 - 0,2 0 0 = i ^ 0 - 4 0 0 - j ^ 0 - 4 - 0,2 0 + k ^ 0 0 0,2 0

ω → × r → P / O = 0 i ^ + 0,8 j ^ + 0 k ^

Então:

v → P / O = ω × r P / O = 0,8 j ^

E a velocidade do ponto O ( v → O )? Como o círculo anda para a direita, então o sentido da velocidade do ponto O é:

Agora é só usarmos a fórmula da rotação para achar o seu módulo:

v O = ω r O

v → O = 1,2 i ^   m / s

Então, a velocidade do ponto P será:

v → P = v → O +   v → P / O

v → P = 1,2 i ^ + 0,8 j ^   m / s

Resposta

a )   v → A / B = 1,2 i ^ + 1,2 j ^   m / s

b )   v → P = 1,2 i ^ + 0,8 j ^   m / s

Exercícios Resolvidos de Movimento Relativo: Velocidade

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