USP – Álgebra Linear – P2 2021 – Questão 13
Assuma orientado e considere coordenadas de pontos dadas em relação a um sistema de coordenadas fixado em de base ortonormal e positiva.
Seja o plano de equação , e seja a reta de equações . Se o ponto de intersecção de e é o ponto médio do segmento , em que e , então é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
Faaaala pessoal, tudo certinho? Vamos ler juntos esse enunciado
Temos o plano : e as equações simétricas da reta :
E aí eles vão se encontrar em um ponto que vamos chamar de . Esse ponto , de acordo com o enunciado, é o ponto médio do segmento , onde
Enfim, o que queremos encontrar é a soma das coordenadas do ponto , ou seja, queremos
Esse exercício vai ser mais simples do que parece. Como é o ponto médio de , temos que
Então, vamos começar encontrando a intersecção de e . Esse vai ser o ponto . Então é só substituirmos o ponto nessa relação aí em cima, e vamos conseguir encontrar , fechou?
Vamos lá!
Passo 2
Pra começar, vamos encontrar o ponto . Ele vai ser a intersecção do plano com a reta
:
:
Antes de qualquer coisa, vamos escrever a reta no formato vetorial. Vendo as equações simétricas acima, sabemos que a reta passa pelo ponto e tem vetor diretor . Logo, ela pode ser escrita assim:
Então, um ponto genérico dessa reta pode ser escrito assim
Show! Mas queremos a intersecção dessa reta com o plano . Bom, se o ponto vai pertencer à reta, ele vai ter o formato . E se ele vai pertencer ao plano também, ele vai cumprir com .
Então, o ponto de intersecção é o ponto da reta onde cumpre com:
(só substituímos as coordenadas do ponto na equação do plano ok?)
Então vamos lá encontrar quem é o ponto
Passo 3
Temos
Então, no ponto de intersecção entre a reta e o plano, vamos ter
Substituindo na equação da reta:
Então
Opaaa, então já temos o ponto de intersecção entre a reta e o plano! Vai ser o ponto
Agora só precisamos lembrar que esse é o ponto médio do segmento
Passo 4
Como vimos lá no passo 1, o ponto vai cumprir:
Afinal, ele é o ponto médio do segmento
Então
Igualando as coordenadas:
Da primeira equação, temos que
Da segunda equação, temos
Da terceira equação, temos
Portanto
E então a alternativa correta é a letra A :P
Resposta
a)