Exercícios Resolvidos de Posição entre Planos

Enunciado

Geometria Analítica – UFPE – 2° EE

Decida quais das afirmações é verdadeira e qual é falsa. Justifique.

O lugar geométrico dos pontos , tais que , é uma reta.

Os planos e , são transversais para todo valor de .

A distância do ponto até a reta de interseção dos planos , e , é menor que 2,5.

Passo 1

Checar posições relativas entre planos consiste em analisar os seus vetores normais. Então, vamos relembrar como obtemos o vetor normal de um plano. Seja um plano dado por:

Então, o vetor normal a este plano é dado por . Sendo assim, os vetores normais aos planos e são, respectivamente, e .

Dois planos são transversais se eles não são paralelos. Podemos checar isto verificando se existe tal que . Então,

Comparando coordenada a coordenada, verificamos que não existe que satisfaça a relação acima. Portanto, os vetores e não são paralelos, independentemente do valor de . Sendo assim, os nossos dois planos são transversais independentemente do valor de !

Concluindo, a afirmação é verdadeira!

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:a) π contém A = ( 1 ,1 ,1 ) , B = ( 1 ,0 ,1 ) e C = ( 1 ,2 ,3 ) .b) π : x - 2 y + 4 z + 1 = 0 .c) π : X = 1 ,2 ,0 + λ1 ,- 1 ,1 + μ( 0 ,1 ,- 2 ) .

As equações X = 0,0 , 0 + t α 1,2 , 4 e X = 1,0 , - 2 + t - 1 , - 1 , - 1 , t ∈R , descrevem os movimentos de duas partículas. Determine o valor de α para que haja colisão. Em que instante ela ocorre?

Decomponha o vetor u → = ( - 3 ,4 ,- 5 ) em duas parcelas, uma paralela e outra ortogonal ao plano de equação vetorial X = 1 ,- 2 ,0 + λ- 1 ,0 ,1 + μ( 0 ,0 ,- 1 ) .

O vetor ( 1 ,1 ,m ) é normal ao plano π , que contém a intersecção dos planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e O y z . Determine m e obtenha uma equação geral de π .

Representar graficamente os planos de equações:3 x + 4 y + 2 z - 12 = 0