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Exercícios Resolvidos de Posição entre Planos

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Exercício 10123456789111213

Enunciado

USP, PSUB, 2018, Q16

Suponha que A = ( 1,0 , 1 ) , C = ( 3,2 , 3 ) e AC é a diagonal de um quadrado contido em um plano perpendicular a π : x - z = 0 . Se ( a , b , c ) é um dos outros dois vértices do quadrado então a b c é igual a:

a )   3

b ) 1 2

c ) 3 2

d ) 5 2

e )   1

Passo 1

Falaa, bora para última questão dessa provinha.

Primeiro vamos entender o que está ocorrendo, vamos escrever de forma melhorada o enunciado

Temos um quadrado ABCD, um plano π 2 no qual o quadrado está contido, sendo que π 2 é perpendicular ao plano π .

Agora fica um pouco melhor para entender o que está ocorrendo e o que podemos fazer. Vale lembrar que quando temos um plano do tipo a x + b y + c z = d , podemos afirmar que temos um vetor n → = ( a , b , c ) perpendicular ao plano.

Usando isso, citado acima, podemos dizer que o vetor v → = ( 1,0 , - 1 ) é perpendicular ao plano π

Agora vamos pensar. Temos um vetor perpendicular ao plano π , sendo que π é perpendicular a um plano π 2 , ou seja, podemos dizer que   v → tá na direção de π 2

Passo 2

Como já foi dito anteriormente, para acharmos a equação de um plano basta termos um vetor normal ao plano e algum ponto do plano. Nosso objetivo é achar outro vértice do quadrado, mas sabemos que o quadrado tá contido em π 2 , ou seja, vamos achar π 2 .

Já sabemos que v → = ( 1,0 , - 1 ) é paralelo ao plano, além disso, como A   e   C estão sobre o plano, temos que A C →   também será. Bora achar esse vetor?

A C → = C - A = 3,2 , 3 - 1,0 , 1 = ( 2,2 , 2 )

Agora, temos dois vetores no plano e queremos achar o perpendicular, isso lembra algo? Essa é a ideia de produto vetorial.

n → = v → × A C → =   i j k 1 0 - 1 2 2 2 = 2 , - 4,2

Ou seja, n → ⊥ π 2 , logo:

π 2 : a x + b y + c z = d ,   o n d e   a , b , c ⊥ π 2

π 2 :     2 x - 4 y + 2 z = d

Além disso, temos que A ∈ π 2 ,   l o g o :

2 1 - 4 0 + 2 1 = 4 ,   l o g o   d = 4

π 2 : 2 x - 4 y + 2 z = 4

Como a , b , c ∈ π 2 :

2 a - 4 b + 2 c = 4 → a - 2 b + c = 2   ( * )

Passo 3

Agora vamos pensar que temos 3 incógnitas (a,b,c), e 1 equação. Precisamos de mais duas.

Chamando P = a , b , c :

Vamos usar o fato de que A P → ∙ A C → =   A P → A C → c o s θ

Onde θ = 45 º , pois um dos vetores será sobre o lado do quadrado e o outro sobre a diagonal.

Além disso, como   A P →   é um vetor num lado do quadrado e A C → a diagonal, sabemos que:

A C → = A P →   2  

Mas A C → =   3 ( 2 2 ) = 2 3 , logo:

A P → =   2 3 2 = 6

Além disso, temos que:

A P → = P - A = a , b , c - 1,0 , 1 = ( a - 1 , b , c - 1 )

Daqui, tiramos que A P → =   a - 1 2 + b 2   +   c - 1 2 = 6

a - 1 2 + b 2 + c - 1 2 = 6

Além disso, voltando em A P → ∙ A C → =   A P → A C → c o s θ :

A P → ∙ A C → = a - 1 , b , c - 1 ∙   2,2 , 2 = 2 a - 1 + 2 b + 2 c - 1

Logo:

2 a - 1 + 2 b + 2 c - 1 = A P → A C → c o s θ = 6     2 3 2 2 = 6

Ou seja, temos as seguintes equações:

2 a - 1 + 2 b + 2 c - 1 = 6 a - 1 2 + b 2 +   c - 1 2 = 6           a - 2 b + c = 2                                                            

Vamos dividir a primeira por 2:

a - 1 + b + c - 1 = 3                       a - 1 2 + b 2 +   c - 1 2 = 6           a - 2 b + c = 2                                                            

a + b + c = 5                                                       a - 1 2 + b 2 +   c - 1 2 = 6           a - 2 b + c = 2                                                            

Agora vamos subtrair a primeira da última, achando que 3 b = 3 → b = 1

Colocando agora na primeira, temos que a + c + 1 = 5 → a + c = 4   ∴ a = 4 - c

Colocando na segunda:

4 - c - 1 2 + 1 +   c - 1 2 = 6

3 - c 2 +   c - 1 2 = 5

2 c 2 + 5 - 8 c = 0 → c = 4 + 6 2   o u   c = 4 - 6 2

Ou seja, a = 4 - 4 + 6 2   o u   a = 4 - 4 - 6 2   → a = 4 - √ 6 2   o u   a = 4   +   6 2

Veja que temos as possíveis soluções:

a , b , c = 4 - 6 2 , 1 , 4 + 6 2   e   a , b , c = 4 + 6 2 , 1 , 4 - 6 2

Mas veja que a b c é igual em ambos casos, nem precisamos nos preocupar com isso, logo:

Tiramos que a b c =   4 + 6 2 4 - 6 2   = 5 2

E assim termina a nossa provinha...

Essa questão é um ótimo problema para treinar, pois necessita de uma interpretação boa, além de se fazer necessário, com base na interpretação, tirar informações que venham virar equações, para resolvermos e achar o que queremos.

Resposta

Letra D

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:a) π contém A = ( 1 ,1 ,1 ) , B = ( 1 ,0 ,1 ) e C = ( 1 ,2 ,3 ) .b) π : x - 2 y + 4 z + 1 = 0 .c) π : X = 1 ,2 ,0 + λ1 ,- 1 ,1 + μ( 0 ,1 ,- 2 ) .
As equações X = 0,0 , 0 + t α 1,2 , 4 e X = 1,0 , - 2 + t - 1 , - 1 , - 1 , t ∈R , descrevem os movimentos de duas partículas. Determine o valor de α para que haja colisão. Em que instante ela ocorre?
Decomponha o vetor u → = ( - 3 ,4 ,- 5 ) em duas parcelas, uma paralela e outra ortogonal ao plano de equação vetorial X = 1 ,- 2 ,0 + λ- 1 ,0 ,1 + μ( 0 ,0 ,- 1 ) .
O vetor ( 1 ,1 ,m ) é normal ao plano π , que contém a intersecção dos planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e O y z . Determine m e obtenha uma equação geral de π .
Representar graficamente os planos de equações:3 x + 4 y + 2 z - 12 = 0