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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Tópicos Adicionais

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Enunciado

Seja

w = ∫ x y e t 2 d t

x = r s 4

y = r 4 s

Calcule

∂ w ∂ r         e       ∂ w ∂ s

Passo 1

Temos duas formas de resolver essas derivadas aqui, podemos trocar x e y pelas funções de r e s na integral e derivar, ou podemos ir pela regra da cadeia, eu vou pela regra da cadeia.

A primeira coisa que temos que fazer é achar o gradiente de w em x e y , primeiro vamos dar uma arrumada nessa integral para podermos aplicar o teorema fundamental do cálculo, para isso vamos fazer a integral indo de uma constante à uma variável.

w = ∫ x y e t 2 d t = ∫ x 0 e t 2 d t + ∫ 0 y e t 2 d t = - ∫ 0 x e t 2 d t + ∫ 0 y e t 2 d t

w = - ∫ 0 x e t 2 d t + ∫ 0 y e t 2 d t

O vetor gradiente vai ser

∇ w = ∂ w ∂ x , ∂ w ∂ y

∂ w ∂ x = - e x 2 ∙ ∂ ∂ x x = - e x 2

∂ w ∂ x = e y 2 ∙ ∂ ∂ x y = e y 2

O vetor gradiente vai ser

∇ w = - e x 2 , e y 2

Devemos ter esse gradiente em relação a r e s então

∇ w = - e r s 4 2 , e r 4 s 2

∇ w = - e r 2 s 8 , e r 8 s 2

Esse vetor gradiente serva para as duas derivadas, o próximo passo que depende de qual derivada vamos fazer primeiro. A parametrização vai ser

σ r , s = r s 4 , r 4 s

Passo 2

Vamos começar achando a derivada em relação a r , para isso devemos achar a derivada da parametrização em relação a r

∂ σ ∂ r = ∂ x ∂ r , ∂ y ∂ r

∂ x ∂ r = s 4

∂ y ∂ r = 4 r 3 s

A derivada da parametrização vai ficar

∂ σ ∂ r = s 4 , 4 r 3 s

Passo 3

Então vamos ter

∂ w ∂ r = ∇ w ∙ ∂ σ ∂ r

∂ w ∂ r = - e r 2 s 8 , e r 8 s 2 ∙ s 4 , 4 r 3 s

∂ w ∂ r = - s 4 e r 2 s 8 + 4 r 3 s e r 8 s 2

Passo 4

Agora vamos a derivada de s , para isso devemos achar a derivada da parametrização em relação a r

∂ σ ∂ s = ∂ x ∂ s , ∂ y ∂ s

∂ x ∂ s = 4 s 3 r

∂ y ∂ s = r 4

A derivada da parametrização vai ficar

∂ σ ∂ s = 4 s 3 r , r 4

Passo 5

Então vamos ter

∂ w ∂ s = ∇ w ∙ ∂ σ ∂ s

∂ w ∂ s = - e r 2 s 8 , e r 8 s 2 ∙ 4 s 3 r , r 4

∂ w ∂ s = - 4 s 3 r e r 2 s 8 + r 4 e r 8 s 2

Resposta

∂ w ∂ r = - s 4 e r 2 s 8 + 4 r 3 s e r 8 s 2

∂ w ∂ s = - 4 s 3 r e r 2 s 8 + r 4 e r 8 s 2

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