Suponha que é uma função de classe e
Sabe-se que a curva de equação
Está contida no gráfico da função .
- Calcule
- Ache uma equação da reta tangente a curva no ponto
- Mostre que a reta encontrada no item b) está contida no plano tangente ao gráfico da função em
Passo 1
Sabemos que a curva está contida na superfície , certo? Então, podemos dizer que, se
E
Então,
Viu o que fizemos? A curva pega sempre o valor de um , e, com ele, forma um ponto de coordenadas. Já a superfície , com dois pontos dados (ou seja, o valor da primeira e segunda coordenada de ), gera um terceiro valor, que dará a coordenada do ponto.
Então, temos
Podemos então usar a regra da cadeia para calcular !
Passo 2
Vamos primeiro calcular o correspondente e :
Resolvendo esse sistema temos que
Passo 3
Calcular gradiente da função:
A questão já nos dá o gradiente de no ponto:
Passo 4
Agora vamos encontrar as e
E
Em temos:
Passo 5
Substituindo na formula da regra da cadeia:
Passo 6
Primeiro vamos descobrir quem é o ponto de tangencia :
Beleza, mas como já vimos ali em cima,
Como a questão nos diz.
Beleza, agora que já sabemos o ponto de tangencia
Vamos calcular o vetor na direção da reta tangente.
Passo 7
Esse vetor vai ser
nós já calculamos na letra , então:
Passo 8
Para encontrar a reta tangente, falta só substituir tudo isso na equação da reta:
Passo 9
Se queremos que a reta tangente esteja contida no plano tangente, ela tem que ser perpendicular ao vetor normal do plano tangente ao gráfico de .
Esse vetor normal será o vetor gradiente da função
Logo, o vetor normal ao plano tangente no ponto é
Passo 10
Se queremos provar que essa reta está contida nesse plano tangente, ou seja, que o vetor na direção da reta é perpendicular ao vetor normal ao plano, basta mostrarmos que o produto escalar entre esses vetores é nulo!
Vamos ver:
Ou seja, provamos