UFES – Cálculo 1 – Lista 10 – Questão 1b
Seja
- Calcule e
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa função aqui
E pediu para calcularmos a inversa dela em
E a derivada da função inversa também em
Percebe que se trocarmos e não conseguimos isolar (que seria nossa inversa)? Então não é desse jeito que vamos encontrar a inversa de ...
E agora? Como resolvemos isso?
A ideia aqui é analisar aquele dentro da função inversa! Ele não é o nosso famoso né, ele é nosso ! Então queremos saber a inversa quando ! Ou melhor, queremos saber o que dá
Sacou?
Não? Relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Procurando por :
Primeiro aqui, vamos ter que nos atentar a um detalhe, quem é o dentro dessa função inversa?
Veja que se então na função inversa... . Ou seja, é a inversa! Por comparação então...
Concluímos que quem é é o !
Vamos buscar então o para esse ...
Assim temos
Como o domínio comporta , temos
Beleza?
Como vimos, já que na inversa vale , logo...
Passo 3
Agora vamos procurar por :
Para a derivada dessa inversa, usamos uma aplicação do teorema da função inversa:
será dado pelo inverso da derivada aplicada a :
E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?