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Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Inversa

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Exercício 213456789101112131415

Enunciado

Seja

F x , y = ( e x + y , e x - y )

Com domínio U = R ² .

  1. Mostre que F admite inversa numa vizinhança de qualquer x , y ∈ R ²
  2. Determine F - 1 ' ( F - 1 , - 1 )

Passo 1

a )

A função F admite inversa se as condições do teorema da função inversa são satisfeitas, isto é, se a derivada F ' de F for inversível num ponto X = ( x , y ) .

Vamos primeiro calcular F ' X

F ' X = J F X = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y = e x + y e x + y e x - y - e x - y

Passo 2

F ' ( X 0 ) tem inversa se seu determinante for diferente de zero. Calculando esse determinante

det ⁡ F ' X = e x + y e x + y e x - y - e x - y = - e 2 x - e 2 x = - 2 e 2 x ≠ 0

Para qualquer valor de ( x , y ) .

Então, como esse determinante é diferente de zero, temos que F admite inversa numa vizinhança de qualquer x , y ∈ R ²

Passo 3

b )

Pelo teorema da função inversa

F - 1 ' Y 0 = F ' X 0 - 1

Onde

X 0 = - 1 , - 1

Y 0 = F X 0 = F - 1 , - 1 = e - 1 + - 1 , e - 1 - - 1 = e - 2 , e 0 = ( e - 2 , 1 )

F ' X 0 = e - 1 + - 1 e - 1 + - 1 e - 1 - - 1 - e - 1 - - 1 = e - 2 e - 2 e 0 - e 0 = e - 2 e - 2 1 - 1

Passo 4

Calculando F ' X 0 - 1

e - 2 e - 2 1 - 1 1 0 0 1 → l 1 e - 2 1 1 1 - 1 1 e - 2 0 0 1 → l 1 + l 2 2 0 1 - 1 1 e - 2 1 0 1 → l 1 2 1 0 1 - 1 e ² 2 1 2 0 1 → ( l 1 - l 2 ) 1 0 0 1 e ² 2 1 2 e ² 2 - 1 2

Logo

F - 1 ' e - 2 , 1 = e 2 2 1 2 e 2 2 - 1 2

Resposta

F - 1 ' e - 2 , 1 = e 2 2 1 2 e 2 2 - 1 2