Seja
- Encontre explicitamente a inversa de , que é uma função
- Encontre o jacobiano em qualquer
- Verifique que em qualquer e em qualquer
- Os itens (b) e (c) contradizem o Teorema da Função Inversa? Explique.
Passo 1
Temos
Temos um vetor
Escrito em função do vetor
.
Se quisermos encontrar a inversa dessa função, temos que escrever cada componenete do vetor como uma função do vetor :
Passo 2
Vamos lá:
E
E
Passo 3
Então
Passo 4
O jacobiano representa o determinante da matriz derivada da função, ou seja .
Vamos calcular primeiro a matriz derivada então para qualquer
Passo 5
O Jacobiano será então:
Passo 6
Para , temos
Para , temos
Passo 7
A hipótese do Teorema da Função Inversa diz que deve possuir inversa e isso acontece se , mas ele não afirma nada sobre quando . Assim, esse exemplo não contradiz o teorema, mas prova que sua recíproca não é verdadeira, isto é, que se não significa que não tenha inversa e, consequentemente, não significa que a derivada da inversa não seja o inverso da derivada.
Resposta
- e
- A hipótese do Teorema da Função Inversa diz que deve possuir inversa e isso acontece se , mas ele não afirma nada sobre quando . Assim, esse exemplo não contradiz o teorema, mas prova que sua recíproca não é verdadeira, isto é, que se não significa que não tenha inversa e, consequentemente, não significa que a derivada da inversa não seja o inverso da derivada.