UFES – Cálculo 1 – Lista 10 – Questão 1a
Seja
- Mostre que tem inversa em
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa afirmação aqui
E pediu para mostrar que tem inversa em
Mas como fazer isso?
Você precisa lembrar do Teorema da Função inversa. Ele nos diz que se é derivável e , então tem inversa.
Outro aspecto que precisamos levar em conta é que a função precisa ser bijetora, ou seja, ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo!
Uma função injetora é quando temos apenas uma imagem para cada do domínio. E uma função é sobrejetora é quando a imagem é igual o contradomínio! Ou seja, quando a imagem é o conjunto dos reais!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos começar pelo teorema da função inversa!
Derivamos :
Repara que e são sempre positivos, o que gera que, com aquele sinal de menos, essa derivada seja sempre negativa, nunca igual a zero! Primeira condição satisfeita!
Agora vamos analisar se é injetora: a gente nota que a função é estritamente decrescente no seu domínio de e nunca haverá dois valores de gerando o mesmo valor de , o que faz com que essa função seja injetora.
Por fim, temos que , para próximo de essa função explode para , e quanto maior o valor de , mais ela assume valores negativos pois o termo irá ser predominante por cauda da potência ser mais alta. Então temos que a imagem são todos os reais.
Portanto, concluímos que é inversível pelo Teorema da Função Inversa.
E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?