Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Teorema Pi

Ver Teoria
Exercício 412356789101112

Enunciado

A força de propulsão F de uma hélice geralmente é considerada uma função de seu diâmetro D e velocidade angular Ω , da velocidade V   de avanço, da massa específica ρ e da viscosidade μ do fluido. Reescreva essa relação como uma função adimensional.

Passo 1

Vamos montar nosso problema pessoal!

Traduzindo o enunciado queremos adimensionalizar a seguinte relação.

F = f ( D , Ω , V , ρ , μ )

Vamos então analisar as dimensões de cada uma das 6 variáveis para determinarmos quantos grupos Pi teremos:

F = M L T - 2

Ω = T - 1

V = L T - 1

D = L

μ = M L - 1 T - 1

ρ = M L - 3

Ω é unidade de rotação sobre tempo, porém “rotações” são consideradas adimensionais, logo é apenas unidade de inverso de tempo.

Como temos três dimensões, M L T e seis variáveis, temos pelo menos 6 - 3 = 3 grupos Pi.

Passo 2

Agora vamos definir nossas variáveis repetivivas. Neste caso são três por haverem três dimensões.

Pessoalmente eu gosto de utilizar massa específica, velocidade e o diâmetro nesse caso. Mas é possível utilizar outras variáveis e ter grupos Pi diferentes. Normalmente o hélice tem essas três propriedades bem definidas e pouco mutáveis no projeto. Logo se aplicam em todos os efeitos que queremos ver. Enfim vamos montar o primeiro grupo:

V a D b ρ c F = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c M L T - 2 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c + 1 T - a - 2 = M 0 L 0 T 0

Montamos um sistema igualando os expoentes das dimensões correpsondentes:

c + 1 = 0 a + b - 3 c + 1 = 0 - a - 2 = 0

Da terceira equação:

a = - 2

Da primeira equação:

c = - 1

Substituindo na segunda:

- 2 + b - 3 - 1 + 1 = 0

b = - 2

Logo nosso primeiro adimensional é:

Π 1 = F V 2 ρ D 2

Refazendo o processo para a rotação Ω :

V a D b ρ c Ω = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c T - 1 = M 0 L 0 T 0

M c L a + b - 3 c T - a - 1 = M 0 L 0 T 0

Montamos nosso sisteminha:

c = 0 a + b - 3 c = 0 - a - 1 = 0

Da terceira equação:

a = - 1

Substituindo na segunda:

- 1 + b - 3 × 0 = 0

b = 1

Π 2 = Ω D V

E nosso último grupo pi, o da viscosidade:

V a D b ρ c μ = M 0 L 0 T 0

L T - 1 a L b M L - 3 c M L - 1 T - 1 = M 0 L 0 T 0

M c + 1 L a + b - 3 c - 1 T - a - 1 = M 0 L 0 T 0

c + 1 = 0 a + b - 3 c - 1 = 0 - a - 1 = 0

Primeira equação:

c = - 1

Terceira equação:

a = - 1

Substituindo na segunda:

- 1 + b - 3 - 1 - 1 = 0

b = - 1

Logo:

Π 3 = μ ρ V D

Resposta

F ρ V 2 D 2 = f Ω D V , μ ρ V D

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar uma expressão para o período de oscilação de um pêndulo simples, de comprimento l , que oscila com amplitude reduzida devido unicamente à ação da gravidade.
A função representativa de um certo fenômeno é f ρ ; μ ; v ; F ; c ; L = 0 . Onde c = velocidade do som e L é o comprimento característico qualquer. Como no laboratório os ensaios são realizados com b
Experiências mostram que a queda de pressão para escoamento através de uma placa de orifício de diâmetro d montada em um trecho de tubo de diâmetro D pode ser expressa como Δ p = p 1 - p 2 = f ρ ,μ ,V
O torque, T , de uma máquina manual para polir automóvel é uma função da velocidade de rotação, ω , da força normal aplicada, F , da rugosidade superficial do automóvel, e , da viscosidade da pasta po
A velocidade média, u _ , para escoamento turbulento em um tubo ou em uma camada­ limite pode ser correlacionada, usando a tensão de cisalhamento na parede, τ w , a distância da parede, y , e as propr