Um pêndulo tem um período de oscilação que é considerado dependente do seu comprimento , da massa , do ângulo de balanço e da aceleração da gravidade . Um pêndulo de 1 m de comprimento, com uma massa de 200 g, é testado sobre a Terra, determinando-se um período de 2,04 s para uma oscilação de 20°. Qual é o s eu período para uma oscilação de 45°? Um pêndulo semelhante, construído com e , é posto para oscilar na Lua com . Qual será o seu período?
Passo 1
Outro problema de análise dimensional que não é muito complicado, o problema aqui é saber identificar adimensionais dentro das variáveis. Chega mais!
A função do problema é:
De dimensões:
Ué, o ângulo não é dado em medida de “graus” ou ?
Na verdade, ângulos são considerados adimensionais, então já temos um grupo pi definido!
Temos portanto três dimensões e cinco variáveis, o que nos dá pelo menos dois grupos pis, sendo que um já descobrimos que é o ângulo .
Passo 2
Arbitrariamente escolhi como nossas variáveis repetitivas. Até porque são as que sobram.
Logo:
Logo temos o sistema:
Isso nos dá:
Então nosso adimensional é:
Finalmente:
Passo 3
Na letra é pedido para calcularmos o período de um pêndulo para outro ângulo. Nossa relação adimensional não permite calcularmos isso, porque não conhecemos como é a variação do adimensional em relação a , ou seja, não conhecemos a função .
Portanto é necessário testar e obter mais dados para aproximarmos um valor de período.
Passo 4
Já a letra , nós podemos calcular, porque o ângulo está fixado em , então podemos usar o valor de para calcularmos o problema com novo pêndulo na Lua:
Resposta
Não é possível calcular, pois não conhecemos a função que relaciona os dois adimensionais;