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Exercícios Resolvidos de Teorema Pi

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Exercício 121234567891011

Enunciado

USP – Mecânica dos fluidos – 2019.2 – P1. 3a

A integral das forças de pressão F de vento horizontal atuante sobre um edifício vertical deve ser determinada utilizando os conceitos de Análise Dimensional e Semelhança. Para isto, pede-se:

(a) Deduzir os adimensionais da função equivalente considerando que a força F é função da velocidade horizontal V, da altura do edifício H, da gravidade g, da massa específica ρ a r   e da viscosidade dinâmica μ a r , adotando a base de grandezas ( ρ a r , V ,   H ) para dedução dos adimensionais.

Passo 1

Para deduzir os adimensionais a gente vai precisar usar o teorema de Pi – Buckingham, ou seja, primeiro vamos fazer nossa matriz dimensional na base MLT (massa, comprimento e tempo). Antes, porém, precisamos saber quantos adimensionais teremos, né? Como fazemos isso? Fazemos a diferença entre o número de variáveis e o número de unidades bases.

N a d i m e n s i o n a i s = N v a r - N b a s e

Temos seis variáveis: ρ a r , V ,   H ,   F ,   g   e μ a r

Temos 3 unidades bases: MLT, logo:

N a d i m e n s i o n a i s = 6 - 3 = 3

Ou seja, teremos o grupo π 1 ,   π 2 ,   π 3

Passo 2

Vamos montar a matriz dimensional!!!

Uma vez definido nossa matriz de dimensões, podemos calcular os grupos π :

F = π 1   ρ a r a V b H c

g = π 2 ρ a r d V e H f

μ a r = π 3 ρ a r g V h H i

Passo 3

Abrindo os parâmetros em suas dimensões bases, de acordo com a nossa tabela de dimensões, teremos:

F = π 1   ρ a r a V b H c

M L T - 2 = π 1 M L - 3 a L T - 1 b L c

Note que a soma dos expoentes para cada variável do lado direito tem que ser igual ao valor do expoente da variável do lado esquerdo, ou seja, vamos ter:

M L T - 2 = π 1 ( M a ) ( L - 3 a + b + c ) ( T - b )

Tcharam, daqui tiramos que:

a = 1

b = 2

Agora, olhando para a variável L, temos:

1 = - 3 a + b + c

c = 1 + 3 a - b

c = 1 + 3 1 - 2 = 2

Ou seja,

π 1 = F ρ V 2 H 2

Passo 4

Analogamente para o grupo π 2

g = π 2 ρ a r d V e H f

L T - 2 = π 2 M L - 3 d L T - 1 e L f

L T - 2 = π 2 M d L - 3 d + e + f T - e

Daqui tiramos que:

d = 0

e = 2

E olhando para a dimensão L, temos:

1 = - 3 d + e + f

f = 1 + 3 d - e

f = 1 - e = 1 - 2 = - 1

Logo, temos:

π 2 = g V 2 H - 1 = g H V 2

Passo 5

Analogamente para o grupo π 3

μ a r = π 3 ρ a r g V h H i

M L - 1 T - 1 = π 3 M L - 3 g L T - 1 h L i

M L - 1 T - 1 = π 2 M g L - 3 g + h + i T - h

Daqui tiramos que:

g = 1

h = 1

E olhando para a dimensão L, temos:

- 1 = - 3 g + h + i

i = 3 g - h - 1

i = 3 1 - 1 - 1 = 1

Logo, temos:

π 3 = μ a r ρ a r V H

Resposta

π 1 = F ρ V 2 H 2

π 2 = g H V 2

π 3 = μ a r ρ a r V H

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