Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 3 Variáveis
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Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 7 – Exercício 41
(Capítulo 14.7 – Exercício 41) Determine os pontos do cone que estão mais próximos do ponto (4, 2, 0).
Passo 1
Faaala galera! Para resolver essa questão, devemos encontrar a distância entre o ponto e o cone, isso vai nos dar uma função, blz? Calcularemos as derivadas parciais dessa função e as igualaremos a para descobrirmos qual ou quais são os pontos críticos.
A partir do teste da segunda derivada conseguiremos saber se é um ponto de máximo, de mínimo ou de sela (lembrando que queremos o ponto de mínimo, para a menor distância). Aí substituindo esses pontos na equação da distância, vamos saber qual deles tem a menor distância
Então bora?
Passo 2
Calculando a distância entre o cone e o ponto :
Como :
Showw, então as derivadas parciais são:
Os pontos críticos acontecem quando :
Resolvendo o sistema acima encontramos: e , logo o único ponto crítico é
Passo 3
Agora vamos fazer o teste da segunda derivada. As derivadas parciais s=de segunda ordem são:
Showww, então calculando o determinante Hessiano:
E , logo é um ponto de mínimo :D
Passo 4
Sabendo que no ponto do cone que tem a menor distância temos e , vamos encontrar o :
Assim, os pontos que possuem menor distância são e , fechou?
Resposta
e