Identifique e classifique os pontos críticos da seguinte função:

Encontrar pontos críticos:

Igualando as coordenadas:

Pela terceira equação vamos ter

Temos que achar e dos pontos agora, pela segunda equação vamos ter

Substituindo na primeira equação

Vamos achar os seguintes valores de

E os valores correspondentes de vão ser

Então os pontos críticos são

Agora vamos achar a matriz Hessiana nesses pontos críticos. Lembra como ela é?

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

A matriz Hessiana vai ficar

Temos que fazer a conta para os pontos, vamos ter

E

Vamos agora achar os autovalores dessas Hessianas, vamos começar pelo ponto para isso vamos resolver

Resolvendo a segunda equação vamos ter

Então os autovalores são

Repara que é negativo e é positivo, então os autovalores estão trocando entre positivo e negativo, isso nos diz que temos um pontos de sela em

Agora vamos achar os autovalores da hessiana de

Resolvendo a segunda equação vamos ter

Então os autovalores são

Conseguimos perceber que e são positivos, mas e aquele cada com subtração? Repara que

E

Então vamos ter aquela subtração sendo positiva, isso nos diz que todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo em