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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 3 Variáveis

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Exercício 812345679

Enunciado

Classificação de Pontos Críticos

Considere o aberto U ⊂ R 3 definido por U = x , y , z ∈ R 3     2 x y z > x 2 + y 2 ,     z > 0 }

Seja f x , y , z = x y z + x 2 2 + y 2 2 + 10 ,     x , y , z ∈ U .

Determine os pontos x , y , z ∈ U , onde a Hessiana H f x , y , z de f x , y , z é estritamente positiva definida.

Passo 1

O primeiro passo nessa questão é calcular a Hessiana de f x , y , z , que carrega as derivadas parciais de segunda ordem da função f x , y , z :

H f x , y , z = f x x f x y f x z f y x f y y f y z f z x f z y f z z = 1 z y z 1 x y x 0

Passo 2

Sabemos que a matriz é estritamente positiva definida se todos os seus autovalores são estritamente positivos. Pelo critério, precisamos encontrar os pontos x , y , z de U nos quais os determinantes:

1 z z 1   e   1 z y z 1 x y x 0

são estritamente positivos.

Ou seja:

1 - z 2 > 0

2 x y z > x 2 + y 2

Passo 3

Então os pontos procurados são todos os pontos de U que satisfazem a restrição:

1 - z 2 > 0     →     - 1 < z < 1

Como em U , temos uma restrição de z > 0 , então os pontos pedidos são todos os pontos de U , que satisfaçam a restrição 0 < z < 1 .

Resposta

S = x , y , z ∈ R 3     2 x y z > x 2 + y 2 ,   0 < z < 1 }  

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