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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 3 Variáveis

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Exercício 912345678

Enunciado

UNICAMP – Cálculo 2 – 2020.2 – P1 – Discursiva

1 . Determine e classifique os pontos críticos de

f x , y = x 2 + x 2 y - y + y ²

Passo 1

Nesse exercício a derivada vai ser nossa melhor amiga pois ela é a nossa ferramenta para resolver esse exercício.

Inicialmente temos que determinar as derivadas de primeira ordem da função pois assim teremos os pontos críticos e depois usando o teste derivada segunda podemos classificar quem são esses pontos.

Tudo certo? Então vamos lá!

Passo 2

Como foi dito no passo anterior vamos primeiramente determinar as derivadas de primeira ordem de:

f x , y = x 2 + x 2 y - y + y ²

Ou seja:

f x = 2 x + 2 x y e f y = x 2 - 1 + 2 y

Para determinar os pontos críticos vamos então fazer um sistema:

2 x + 2 x y = 0 ⇒   2 x 1 + y = 0   ∴ x = 0   o u   y = - 1                                                                                                     x 2 - 1 + 2 y = 0 ⇒ P a r a   y = - 1   : x 2 - 1 + 2 - 1 = 0 ⇒ x 2 = 3   ∴ x = ± 3 P a r a   x = 0   : 0 - 1 + 2 y = 0 ⇒ y =   1 / 2                                                                  

Os pontos críticos de f são:

0 , 1 / 2 , 3 , - 1 e - 3 , - 1

Agora precisamos classificá-los!

Passo 3

Vamos usar agora o teste segunda derivada da função f para classificar os pontos críticos que achamos através de:

D x , y = f x x x , y f y y x , y - f x y x , y 2

Ou seja:

D x , y = 2 + 2 y 2 - 2 x   2 = 4 + 4 y - 4 x 2

Agora vamos substituir os pontos críticos nessa equação:

D 0,1 / 2 = 4 + 4 1 2 - 4 ⋅ 0 2 = 6

Como D 0,1 / 2 > 0 e f x x > 0 então é um ponto de mínimo local.

Os outros dois pontos críticos podemos conseguir juntos pois em D ( x , y ) só aparece x elevado ao quadrado então eles vão possuir o mesmo valor no final das contas, então:

D ± 3 , - 1 = 4 + 4 - 1 - 4 ⋅ ± 3 2   = - 12

Como D ± 3 , - 1 < 0 então esses pontos críticos são pontos de sela.

Resposta

0,1 / 2 é ponto de mínimo local e ± 3 , - 1 são pontos de sela.

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