Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 3 Variáveis
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Estude com relação a máximos e mínimos locais a função
Passo 1
Calcular as derivas parciais de :
Passo 2
Igualar a zero:
Pra :
Pra :
Passo 3
já deu pra definir, agora temos que resolver um sisteminha pra achar e :
Pela 1ª equação, . Substituindo na 2ª:
Ou seja,
Portanto, só tem um ponto crítico, o ponto .
Passo 4
Agora calculemos as derivadas parciais de segunda ordem! Temos
Logo,
Passo 5
Continuando:
Passo 6
Por fim:
Passo 7
Repare que nenhuma das derivadas parciais de segunda ordem depende das coordenadas , e . Então a nossa matriz hessiana é:
Agora, pra achar os autovalores dela, resolvemos a equação
E isso dá:
Passo 8
Então ou , ou:
Desenvolvendo,
Passo 9
Show, então obtivemos os 3 autovalores:
E temos que analisar o sinal desses autovalores pra classificar o único ponto crítico de . Claramente e .
Pro último autovalor basta ter cuidado. É só pensar que , portanto
Ótimo, então os 3 autovalores são positivos!
Isso significa que o único ponto crítico de , , é um ponto de mínimo local.
Resposta
tem um ponto crítico: o mínimo local .