Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 3 Variáveis
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Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 7 – Exercício 43
(Capítulo 14.7 – Exercício 43) Determine três números positivos cuja soma é e cujo o produto é máximo
Passo 1
E aíí galera, vamos juntos pra mais uma?
A partir do enunciado conseguimos montar duas equações:
e
Então:
Substituindo isso na equação :
Showw, então como queremos que o produto seja o maior possível, vamos encontrar o ponto de máximo da função , fechou? Boraaa
Passo 2
Pra começar, vamos encontrar as derivadas parciais da nossa função, temos
Para encontrarmos os pontos críticos, temos que fazer :
Agora temos esse sisteminha que não é linear. Pra isso vamos fazer o seguinte na primeira equação
Que nos dá o valores ou . Como zeraria o produto, podemos descartar essa solução!
Então agora basta jogar na segunda equação
De novo, nós podemos descartar que zeraria o nosso produto, então a nossa solução será
E isso faz com que seja
E é dado por
Emtão o nosso único ponto crítico é
Passo 3
Agora vamos ver se isso realmente maximiza (não precisa calcular, mas já que estamos aqui!) o produto
Pra isso vamos olhar . As derivadas de segunda ordem são:
No ponto
Assim, calculando o determinante Hessiano:
e.
Assim, é um ponto de máximo na função que dá o produto , e portanto são os valores que estão de acordo com o enunciado