Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 3 Variáveis
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Identifique e classifique os pontos críticos da seguinte função:
Passo 1
Primeiro temos que calcular gradiente:
Passo 2
Encontrar pontos críticos:
Passo 3
Igualando as coordenadas:
Então os pontos críticos são
É gente, são OITO PONTOS CRÍTICOS, nessa hora vamos respirar e relaxa, porque a conta para cada um deles é igual fique tranquilo.
Passo 4
Agora vamos achar a matriz Hessiana nesses pontos críticos. Lembra como ela é?
Vamos primeiro achar as derivadas segundas
A matriz Hessiana vai ficar
Temos que fazer a conta para os pontos, vamos ter
E
E
E
E
E
E
E
Passo 5
Vamos agora achar os autovalores dessas Hessianas, vamos começar pelo ponto para isso vamos resolver
Então os autovalores são
Todos os autovalores são positivos, então temos um ponto de mínimo em
Passo 6
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em
Passo 7
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em
Passo 8
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em
Passo 9
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em
Passo 10
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em
Passo 11
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Os autovalores estão alternando de sinal, então temos um ponto de sela em
Passo 12
Agora vamos achar os autovalores da hessiana de
Então os autovalores são
Todos os autovalores são negativos, então temos um ponto de máximo em
Resposta
Pontos de sela:
Pontos de máximo:
Pontos de mínimo: