Exercícios Resolvidos de Combinação e Dependência Lineares

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Enunciado

Escreva o vetor 0 ∈ R 2 como combinação linear dos vetores

a   v 1 = 1,3 e v 2 = 2,6

b   v 1 = ( 1,3 ) e v 2 = ( 2,5 )

Passo 1

Letra ( a )

Para escrever um vetor como combinação linear, precisamos achar quais coeficientes reais satisfazem a equação abaixo:

0,0 = a 1,3 + b 2,6 ⇒

0,0 = a + 2 b ,   3 a + 6 b ⇒

0 = a + 2 b ⇒ a = - 2 b 0 = 3 a + 6 b ⇒ a + 2 b

Caramba não entendi nada! Achei o a em função do b e agora??? Relaxa aí, e olha como ficou a nossa equação, substituindo os valores:

0,0 = - 2 b 1,3 + b 2,6 ⇒

0,0 = b - 2 , - 6 + b 2,6 ⇒

0,0 = b - 2 + 2 ,   - 6 + 6 ⇒

0,0 = b 0,0

Passo 2

Bom o que estou querendo mostrar é que se usarmos o valor fornecido pela solução do nosso sistema, a = - 2 b , vamos ter que nossa combinação linear vai dar sempre zero!! Ahh grande coisa, a gente calculou o sistema pra isso né. Porém, repara que em momento algum tive que estipular valores para b ∈ R , e por consequência (já que a está em função de b ) também não estipulei valores para a . Por isso podemos dizer que, tem infinitas escolhas de coeficientes para esse problema, basta você escolher um que satisfaça a = - 2 b , por exemplo:

b = 1 ,   a = - 2 :

Assim:

- 2 1,3 + 1 2,6 = ( 0,0 )

Pronto! Escrevemos o vetor zero como C L dos vetores :)

Passo 3

Letra ( b )

Só fazer a mesma coisa que a letra ( a ) :

0,0 = a 1,3 + b 2,5 ⇒

0,0 = a + 2 b ,   3 a + 5 b ⇒

0 = a + 2 b ⇒ a = - 2 b ⇒ a = 0 0 = 3 a + 5 b ⇒ - 6 b + 5 b = 0 ⇒ - b = 0 ⇒ b = 0

Essa foi mais fácil né? Então nossa combinação fica o seguinte:

0,0 = 0 1,3 + 0 ( 2,5 )

Resposta

a - 2 1,3 + 1 2,6 = 0,0

b   0 1,3 + 0 2,5 = ( 0,0 )

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