Seja um conjunto linearmente independente e uma combinação linear de e .
(I) e não podem ser ambos linearmente independentes.
(II) e podem ser ambos linearmente dependentes.
(a) I é verdadeira e II é falsa
(b) Ambas são verdadeiras
(c) I é falsa e II é verdadeira
(d) Ambas são falsas
Passo 1
Temos um conjunto com dois vetores e e a questão diz que esse conjunto é LI. Logo, como são apenas dois vetores, sabemos que um não é múltiplo do outro.
Por outro lado, sabemos pelo enunciado que é combinação linear de e . Isso significa que existem a e b reais tais que:
Agora vamos analisar as afirmações.
Passo 2
(I) e não podem ser ambos linearmente independentes.
Essa afirmação é falsa. Reparem que podemos sim ter esses conjuntos LI. Basta que:
com:
Nesse caso, não é CL de ou isoladamente (ou seja, não é múltiplo de ou sozinhos), mas é sim a soma de múltiplos desses vetores.
Passo 3
(II) e podem ser ambos linearmente dependentes.
Essa afirmação é verdadeira pelo simples fato de que a afirmativa não diz que não pode ser o vetor nulo. Como nada é dito, podemos ter que , de forma que ambos os conjuntos serão LD.
Resposta
(c) I é falsa e II é verdadeira