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Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

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Exercício 412356789101112131415161718

Enunciado

Andrezinho respondeu à questão “Prove que, para todo subespaço vetorial H ⊂ R n , tem-se que H ⊕ H ⊥ = R n " da seguinte maneira:

Complete a demonstração do Andrezinho. (Use as dimensões de H e H ⊥ !)

Passo 1

Ficou faltando na demonstração provar que H + H ⊥ = R n , mas... como provar??

Bom, já sabemos que H ⊂ R n e H ⊥ ⊂ R n , ou seja, H e H ⊥ possuem os mesmos elementos e operações de R n . Então, basta provar que as dimensões da soma dos dois subespaços são iguais ao do R n .

Pela fórmula das dimensões sabemos que:

dim ⁡ H + H ⊥ = dim ⁡ H + dim ⁡ H ⊥ - dim ⁡ ( H ∩ H ⊥ )

Passo 2

-

Mas como a interseção é zero...

dim ⁡ H + H ⊥ = dim ⁡ H + dim ⁡ H ⊥

E como sabemos que:

d i m ( H ) = k

dim ⁡ H ⊥ = n - k

dim ⁡ H + H ⊥ = k + n - k = n = d i m ⁡ ( R n )

E assim, podemos dizer que H + H ⊥ = R n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)