À questão “No espaço munido do produto interno usual, calcule o complemento ortogonal de ”, Biazinha escreveu:

Defina “complemento ortogonal de um subespaço vetorial ”

Sem mostrar a resposta correta para Biazinha, como você a convenceria que resposta está errada?

Calcule corretamente .

Seja a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial acima. Calcule ,onde é a base canônica de .

Letra

Como é um espaço de dimensão no , então seu complemento ortogonal deve ter dimensão já que:

Assim, podemos ver que Biazinha achou um complemento ortogonal de dimensão , e sem verificar as contas, já podemos ver que sua resposta está errada.

Letra

Lembre-se! Para calcular o complemento ortogonal basta fazer o produto interno dos vetores de com um elemento genérico do domínio:

Assim os nossos vetores de tem “essa cara”:

Portanto podemos ver que:

Letra

O enunciado pediu a matriz escrita nos vetores da base canônica:

Ihh, mas esses vetores não pertencem a e nem a . Por isso, será preciso acharmos a expressão da nossa , que nem fazemos com uma normal. Para isso usaremos a base de e seu complemento ortogonal:

Aplicando dos dois lados e usando o fato de ser linear:

Lembrando que como , .

Agora vamos achar a relação entre e :

Como neste caso, só precisamos do valor de , não vamos perder tempo calculando o resto.

Agora, podemos calcular as imagens dos vetores da base canônica.

E assim: