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Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

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Exercício 912345678101112131415161718

Enunciado

A3 T9

Seja H o espaço gerado pelos vetores 1 , 2,1 , 4 , 2,1 , 2,1 e 3,0 , 3 , - 1 . Qual a dimensão do complemento ortogonal de H ?

a   2

( b ) 1

( c ) 3

( d ) 0

Passo 1

Bom, primeiro vamos descobrir a dimensão de H ! Sabemos os vetores que geram ele, mas não sabemos se são L I ou L D :

1 2 1 4 2 1 2 1 3 0 3 - 1 ~ 1 2 1 4 0 - 3 0 - 7 3 0 3 - 1 ~ 1 2 1 4 0 - 3 0 - 7 0 - 6 0 - 13 ~ 1 2 1 4 0 - 3 0 - 7 0 0 0 1

Beleza, eles são L I , então H tem dimensão 3 .

Pelos vetores que geram H vemos que ele está contido no R 4 . Logo, como sabemos que a soma de um subespaço com seu complemento ortogonal é direta, ou seja, formará a dimensão do espaço onde eles estão contidos, temos:

dim ⁡ H + dim ⁡ H ⊥ = dim ⁡ R 4

3 + dim ⁡ H ⊥ = 4

dim ⁡ H ⊥ = 1

Resposta

Letra ( b )