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Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

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Exercício 131234567891011121415161718

Enunciado

A3 T9

Seja H o conjunto dos vetores do R 4 cuja soma das duas primeiras coordenadas é zero. Então H ⊥ , o complemento ortogonal de H , é:

a   Um plano

b   Um hiperplano

c   O R 4

d   Uma reta

Passo 1

Vamos lá!

Sabemos que H é formado por:

x + y = 0 ⇒ x = - y

x , y , z , w = - y , y , z , w = y - 1,1 , 0,0 + z 0,0 , 1,0 + w ( 0,0 , 0,1 )

Sendo assim podemos ver que temos 3 vetores L I e, portanto, a dimensão é 3 . Logo como sabemos que:

dim ⁡ H + dim ⁡ H ⊥ = dim ⁡ R 4

Podemos ver que a dimensão do complemento deve ser uma reta, pois deve ter dimensão 1 :

3 + dim ⁡ H ⊥ = 4 ⇒ dim ⁡ H ⊥ = 1

Resposta

Letra ( d )