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Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

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Exercício 141234567891011121315161718

Enunciado

A3 T2 T3 T9 A2 T6 T9

Considere o espaço V = P 1 com seu produto interno usual:

a 1 + b 1 x , a 2 + b 2 x = ∫ 0 1 a 1 + b 1 x a 2 + b 2 x d x

Seja W = 1 um subespaço de V .

a Determine uma base para W ⊥ , o complemento ortogonal de W .

b Determine uma base ortonormal para V a partir de W e W ⊥ .

c Determine o ângulo θ entre os polinômios p 1 = 1 e p 2 = x

Passo 1

Letra a

A primeira coisa que precisamos para obter uma base para W ⊥ é saber como são os polinômios desse subespaço certo?

Bom, temos que se p x ∈ W ⊥ ele é ortogonal à W , então:

p x , 1 = 0

a + b x , 1 = 0

∫ 0 1 a + b x 1 d x = 0

a x + b x 2 2 0 1 = 0

a + b 2 = 0

a = - b 2

b = - 2 a

Logo, os polinômios do nosso subespaço W ⊥ são da forma:

p x = a - 2 a x = a 1 - 2 x

Então uma base para W ⊥ é:

β = 1 - 2 x

Passo 2

Letra b

Como a soma de um subespaço com seu complemento ortogonal é sempre direta, temos que podemos obter uma base para V simplesmente unindo as bases de W e W ⊥ :

α = 1,1 - 2 x

Como W e W ⊥ são ortogonais essa base já é ortogonal! Falta só normalizarmos ela agora. Para isso precisamos da norma dos polinômios:

1,1 = ∫ 0 1 1   d x = 1 = 1

1 - 2 x , 1 - 2 x = ∫ 0 1 1 - 2 x 2   d x = ∫ 0 1 1 - 4 x + 4 x 2   d x = x - 2 x 2 + 4 x 3 3 0 1 =

= 1 - 2 + 4 3 = 1 3

Então uma base ortonormal para V é:

α ' = 1 , 3 1 - 2 x

Passo 3

Letra c

O ângulo entre dois vetores (nesse caso polinômios) é dado por:

θ = arccos ⁡ u , v u . v

Então para encontrarmos o ângulo entre 1 e x , precisamos de:

1 , x = ∫ 0 1 x   d x = x 2 2 0 1 = 1 2

x = x , x = ∫ 0 1 x 2   d x = x 3 3 0 1 = 1 3

E a norma de 1 a gente já encontrou na letra b :

1 = 1,1 = 1

Jogando tudo na fórmula:

θ = arccos ⁡ 1 2 1 . 1 3 = arccos ⁡ 3 2 = 30 °

Resposta

a β = 1 - 2 x

b α ' = 1 , 3 1 - 2 x

c θ = 30 °