Exercícios Resolvidos de Condução em Sistemas Radiais

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Enunciado

(Adaptada) Um tanque esférico para armazenar oxigênio líquido no ônibus espacial deve ser construído em aço inoxidável ( k = 9,2   W . m - 1 . K - 1 ) com 0,80   m de diâmetro e 5   m m de espessura de parede. O ponto de ebulição e o calor latente de fusão do oxigênio líquido são 90   K e 213   k J / k g respectivamente. O tanque será instalado em um grande compartimento cuja temperatura deve ser mantida a 240   . Projete um sistema de isolamento térmico capaz de manter as perdas de oxigênio por evaporação abaixo de 1   k g / d i a . Admita que a condutividade do isolamento equivale a 1,7 x 10 - 5   W . m - 1 . K - 1 e considere a resistência de convecção desprezível frente às demais resistências térmicas.

Passo 1

Nosso objetivo nessa questão é projetar um sistema de isolamento para uma esfera, isso significa que a gente tem que determinar qual a espessura do isolamento vamos usar pra revestir o tanque esférico.

A situação pode ser esquematizada da seguinte forma:

O sistema de isolamento deve ser tal que a taxa de evaporação do oxigênio líquido seja inferior a 1   k g / d i a . “Mas o que isso tem a ver?”

A gente sabe que dada uma pressão fixa, a gente pode evaporar líquido fornecendo uma certa quantidade de energia, certo?

Então, a gente consegue relacionar a taxa de evaporação com a taxa de calor do sistema, dá uma olhadinha:

Q = m . L

Essa é a equação do calor latente ( Q ), ou seja, a quantidade de energia pra evaporar a substância. Ele é função da quantidade de massa que evapora ( m ) e do calor latente de ebulição da substância em questão ( L ).

Só que aqui a gente tá trabalhando com taxa, então bora dividir os dois lados da equação por ∆ t :

Q ∆ t = m ∆ t . L

Assim a gente fica com a taxa de calor ( q ) e com a taxa mássica de evaporação ( m ˙ ):

q = m ˙ . L

Beleza! Então, se a gente precisa projetar um isolamento pra que a taxa de evaporação seja menor que 1   k g / d i a , é a mesma coisa que projetar o isolamento pra uma taxa de calor menor que:

q = 1 k g d i a 1   d i a 24   h . 1   h 3600   s . 213 k J k g

q = 2,465   J . s - 1 = 2,465   W

Beleza, agora já ficou um pouco melhor! O enunciado passa a ser “Projete um sistema de isolamento térmico para que a taxa de calor seja menor que 2,465   W ”.

Passo 2

Agora, a gente tem que calcular qual a espessura de isolamento que permite a passagem de somente 2,465   W . Bora lá!

A gente pode construir um circuito térmico considerando as paredes de aço ( R c d , A ) e de isolamento ( R c d , B ) mais a resistência de convecção externa ( R c v ):

A gente pode escrever a equação para a taxa da seguinte maneira:

q = T ∞ - T 1 R t o t

Note que, projetar a espessura de isolamento é o mesmo que determinar o valor de r 3 !

Bora encontrar o valor da resistência total primeiro:

R t o t = T ∞ - T 1 q

R t o t = 240 - 90   K 2,465   W

R t o t = 60,85   K . W - 1

Passo 3

Como as resistências estão em série, podemos escrever a resistência total como:

R t o t = R c d , A + R c d , B + R c v

Mas, pelo enunciado, a gente pode desprezar a resistência de convecção, então:

R t o t = R c d , A + R c d , B

Em que as resistências são dadas por:

R c d , A = 1 / r 1   - 1 / r 2 4 π . k A                 e             R c d , B = 1 / r 2   - 1 / r 3 4 π . k B

Bora calcular a resistência do aço:

R c d , A = 1 / r 1   - 1 / r 2 4 π . k A

R c d , A = 0,35   m - 1 - 0,40   m - 1 4 π . 9,2   W . m - 1 . K - 1

R c d , A = 2,4 x 10 - 3   K . W - 1

Passo 4

Beleza, então a gente pode escrever que:

R t o t = R c d , A + R c d , B

R c d , B = R t o t - R c d , A

Substituindo o que calculamos:

R c d , B = 60,85   K . W - 1 - 2,4 x 10 - 3   K . W - 1

R c d , B = 60,85   K . W - 1

Viu que a resistência de condução é tão baixinha que não fez nem cócegas na resistência total? Pois é!

Abrindo a expressão da resistência de condução no isolamento, a gente fica com:

R c d , B = 1 / r 2   - 1 / r 3 4 π . k B = 60,85   K . W - 1

Logo:

0,40   m - 1 - r 3 - 1 4 π . 1,7 x 10 - 5   W . m - 1 . K - 1 = 60,85   K . W - 1

r 3 - 1 = 2,487   m - 1

Dessa forma:

r 3 = 0,4021   m

Passo 5

Isso significa que a espessura de isolamento é dada por:

δ = 0,4021   m - 0,40   m

δ = 0,0021   m

Ou seja:

δ = 2,1   m m

Resposta

δ = 2,1   m m .

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