Forneça a formulação matemática para o problema de condução de calor em um cilindro oco de raio interno , raio externo e altura , que encontra-se inicialmente na temperatura uniforme .
Uma das superfícies de topo do cilindro é aquecida por um fluxo de calor uniforme , enquanto a outra superfície de topo é isolada termicamente.
O cilindro troca calor internamente por convecção com um meio na temperatura , com coeficiente de transferência de calor . O cilindro troca calor através de sua superfície lateral externa com um meio na temperatura , com coeficiente de transferência de calor .
As temperaturas dos meios externo e interno, assim com os coeficientes de transferência de calor por convecção, são uniformes. Não há geração interna de energia no cilindro.
Passo 1
Como queremos fornecer a formulação matemática, precisamos obter uma equação a partir da equação de calor que, no caso de simetria cilíndrica, é dada por:
Com as informações fornecidas pelo problema, podemos fazer as seguintes considerações:
- Condução bidimensional nas direções radial e axial .
- Não há geração interna de energia.
- Propriedades constantes.
Assim, aplicando essas considerações à equação de calor, teremos:
Onde .
Passo 2
Para condição inicial, o problema nos disse que a temperatura é inicialmente uniforme e igual a . Dessa forma:
Passo 3
Para condições de contorno, como estamos trabalhando com condução bidimensional, teremos duas condições para a direção radial, e duas para a direção axial.
De acordo com o problema, uma das superfícies de topo do cilindro é aquecida por um fluxo de calor uniforme , enquanto a outra superfície de topo é isolada termicamente. Dessa forma, podemos dizer que:
Para as condições radiais, o problema nos disse que ambas as superfícies trocam calor por convecção, dessa forma: