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Exercícios Resolvidos de Condução em Sistemas Radiais

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Exercício 612345789101112

Enunciado

Uma semiesfera (uma esfera cortada pela metade) que estava com uma temperatura inicial T i teve sua face plana colocada sobre uma placa mantida a temperatura T i e esse conjunto foi colocado em um meio fluido a uma temperatura T ∞ que é menor que T i .

Esse meio fluido está a uma velocidade bem caracterizada de tal forma que existe um coeficiente de película médio, h , muito bem definido.

Partindo da equação geral de transferência de calor, equacione o modelo o modelo do perfil de temperatura da semiesfera e modele também a condições de contorno e iniciais. Utilize o sistema de coordenadas mais conveniente para a resolução do problema.

Justifique cada simplificação. Seja sucinto. NÃO RESOLVA A EQUAÇÃO, APENAS MODELE.

Passo 1

Como estamos trabalhando com uma semiesfera, vamos partir da equação de calor para sistemas esféricos, dada por:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen 2 ⁡ θ . ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ k sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Como temos uma condição em que a temperatura no plano da semiesfera é constante, a temperatura do sistema irá depender do raio r e do ângulo θ . Dessa forma, podemos rescrever a equação acima da seguinte forma:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ k sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Supondo que não há geração de energia:

1 r 2 . ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ k sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Supondo que as propriedades da semiesfera não dependam da temperatura:

k . 1 r 2 . ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r + k . 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ = ρ c p . ∂ T ∂ t

Dividindo toda a equação por k :

1 r 2 . ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ = 1 α . ∂ T ∂ t

Passo 2

Vamos trabalhar agora com as condições de contorno e condição inicial do sistema.

Inicialmente, toda a semiesfera estava a uma temperatura T i , logo:

T r , θ , 0 = T i

Para condições de contorno, podemos assumir temperatura constante em θ = π / 2 , convecção na superfície, e temperatura constante em r = 0 . Dessa forma, teremos o seguinte:

T r , π / 2 , t = T i

- k ∂ T ��� r r = R = h T R , θ , t - T ∞

T 0 , θ , t = T i

Resposta

1 r 2 . ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sen ⁡ θ . ∂ ∂ θ sen ⁡ θ ∂ T ∂ θ = 1 α . ∂ T ∂ t

T r , π / 2 , t = T i - k ∂ T ∂ r r = R = h T R , θ , t - T ∞ T 0 , θ , t = T i T r , θ , 0 = T i

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